2020届北京市第四中学高三第二学期统练数学试题版.doc

2020届北京市第四中学高三第二学期统练数学试题一、单选题1tan570=（ ）AB-CD【答案】A【解析】直接利用诱导公式化简求解即可【详解】tan570=tan（360+210）=tan210=tan（180+30）=tan30=故选：A【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.2已知等比数列满足，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B.3下列选项中，说法正确的是（ ）A“”的否定是“”B若向量满足 ，则与的夹角为钝角C若，则D“”是“”的必要条件【答案】D【解析】对于A根据命题的否定可得：“x0R，x02-x00”的否定是“xR，x2-x0”，即可判断出；对于B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角；对于C当m=0时，满足am2bm2，但是ab不一定成立；对于D根据元素与集合的关系即可做出判断【详解】选项A根据命题的否定可得：“x0R，x02-x00”的否定是“xR，x2-x0”，因此A不正确；选项B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项C当m=0时,满足am2bm2，但是ab不一定成立，因此不正确；选项D若“”，则且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要条件，故正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.4已知a0，b0，a+b =1，若 =，则的最小值是（ ）A3B4C5D6【答案】C【解析】根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】a0，b0，a+b=1，当且仅当时取“”号答案：C【点睛】本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.5某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A8BC4D【答案】D【解析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱底面的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为PA=2，四棱锥的体积为.故选：D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力属于中等题.6函数 的部分图象如图所示，则 （ ）A6B5C4D3【答案】A【解析】根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果【详解】由图象得,令=0,即=k，k=0时解得x=2，令=1,即，解得x=3，A(2,0),B(3,1)，.故选：A.【点睛】本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.7易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为ABCD【答案】A【解析】阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.【详解】因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.故选：A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：.8已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）A1BC2D3【答案】C【解析】试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，渐近线方程为，求出交点，则；选C【考点】1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；9在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：由已知可得有两个不等实根.【考点】1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根，从而可得.10单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”白蚂蚁爬地的路线是AA1A1D1，黑蚂蚁爬行的路线是ABBB1，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）A1BCD0【答案】B【解析】根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离【详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1A1D1D1C1C1CCBBA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，由，白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；同理,黑蚂蚁爬行路线为ABBB1B1C1C1D1D1DDA，黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点，所以它们此时的距离为.故选B.【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.二、填空题11某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y的值为_【答案】【解析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值.【详解】根据茎叶图中的数据，得：甲班5名同学成绩的平均数为，解得；又乙班5名同学的中位数为73，则；.故答案为：.【点睛】本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题.12在的二项展开式中，x的系数为_（用数值作答）【答案】-40【解析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数【详解】的二项展开式的通项公式为，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二项展开式中x项的系数为.故答案为：-40.【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.13直线xsiny20的倾斜角的取值范围是_【答案】【解析】因为sin 1，1，所以sin 1，1，所以已知直线的斜率范围为1，1，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是答案：14已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_【答案】（-4，2）【解析】试题分析：因为当且仅当时取等号，所以【考点】基本不等式求最值15已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则【答案】【解析】，由题意，得,解得，则的周期为4，且，所以.【考点】三角函数的图像与性质.三、解答题16已知如图1，在RtABC中，ACB=30，ABC=90，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示。（）求证：AE平面BCD； （）求二面角A-DC-B的余弦值； （）求三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）【答案】（）证明见解析；（）；（）1:5【解析】（）由平面ABD平面BCD，交线为BD，AEBD于E，能证明AE平面BCD;（）以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;（）利用体积公式分别求出三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积，再作比写出答案即可【详解】（）证明：平面ABD平面BCD，交线为BD，又在ABD中，AEBD于E，AE平面ABD，AE平面BCD（）由（1）知AE平面BCD，AEEF，由题意知EFBD，又AEBD，如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设AB=BD=DC=AD=2，则BE=ED=1，AE=，BC=2，BF=，则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，），F（，0，0），C（，2，0），由AE平面BCD知平面BCD的一个法向量为，设平面ADC的一个法向量，则，取x=1，得，二面角A-DC-B的平面角为锐角，故余弦值为（）三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比为：1:5.【点睛】本题考查线面垂直的证明、几何体体积计算、二面角有关的立体几何综合题，属于中等题.17已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：函数的周期为；是函数的对称轴；且在区间上单调.（）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；（）若，求函数的值域.【答案】（）只有成立，；（）.【解析】（）依次讨论成立，成立，成立，计算得到只有成立，得到答案.（）得到，得到函数值域.【详解】（）由可得，；由得：，；由得，；若成立，则，若成立，则，不合题意，若成立，则，与中的矛盾，所以不成立，所以只有成立，.（）由题意得，所以函数的值域为.【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.18某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作每个工人独立维修A元件需要时间相同维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数（）求X的分布列与数学期望；（）若a，b，且b-a=6，求最大值；（）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）【答案】（）分布列见解析，；()；()至少增加2人.【解析】（）求出X的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可（）当P（aXb）取到最大值时，求出a，b的可能值，然后求解P（aXb）的最大值即可（）利用前两问的结果，判断至少增加2人【详解】()X的取值为：9，12，15，18，24；,，X的分布列为：X912151824P故X的数学期望；()当P(aXb)取到最大值时,a,b的值可能为：,或,或.经计算,，所以P(aXb)的最大值为.()至少增加2人.【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题.19已知点到抛物线C：y2=2px准线的距离为2（）求C的方程及焦点F的坐标；（）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB，分别交x轴于M，N两点，求的值【答案】()C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；（）2【解析】（）根据抛物线定义求出p，即可求C的方程及焦点F的坐标；（）设点A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(1,2)，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k(x+1)2(k0)，与抛物线联立可得ky2-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF|NF|的值【详解】()由已知得，所以p=2.所以抛物线C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；(II)设点A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(1,2)，由题意直线AB斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y=k(x+1)2(k0).由得，则,.因为点A,B在抛物线C上,所以,.因为PFx轴，所以，所以|MF|NF|的值为2.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求来求解，本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解，属于中等题.20设函数f（x）=ax2alnx，g（x）=，其中aR，e=2.718为自然对数的底数.（）讨论f（x）的单调性；（）证明：当x1时，g（x）0；（）确定a的所有可能取值，使得f（x）g（x）在区间（1，+）内恒成立.【答案】（）当时，0，单调递减；当时，0，单调递增；（）详见解析；（）.【解析】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（）问，对求导，再对a进行讨论，判断函数的单调性；第（）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论，第（）问，构造函数=（），利用导数判断函数的单调性，从而求解a的值.试题解析：（）0，在内单调递减.由=0有.当时，0，单调递减；当时，0，单调递增.（）令=，则=.当时，0，所以，从而=0.（）由（），当时，0.当，时，=.故当在区间内恒成立时，必有.当时，1.由（）有,而，所以此时在区间内不恒成立.当时，令=（）.当时，=.因此，在区间单调递增.又因为=0，所以当时，=0，即恒成立.综上，.【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性本题中注意由于函数的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围比较新颖，学生不易想到，有一定的难度21如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij (i，j=1，2，3，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij1，-1.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合对于，记ri (A)为A的第i行各数之积，cj (A)为A的第j列各数之积令a11a12a1na21a22a2nan1an2ann（）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0；（）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；（）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合【答案】（）答案见解析；（）不存在，理由见解析；（）【解析】（）可取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；（）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；（）通过分析正确得出l(A)的表达式，以及从A0如何得到A1，A2，以此类推可得到Ak【详解】（）答案不唯一，如图所示数表符合要求.（）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，证明如下:假如存在，使得.因为，所以，.，.，这18个数中有9个1，9个-1.令.一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而，另一方面，表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；也表示m，从而，相矛盾，从而不存在，使得.（）记这个实数之积为p.一方面，从“行”的角度看，有；另一方面，从“列”的角度看，有；从而有，注意到，下面考虑，.，.，中-1的个数，由知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为，则1的个数为2n-2k，所以，对数表，显然.将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，依此类推，将数表中的由1变为-1，得到数表，即数表满足：，其余，所以，所以，由k的任意性知，l（A）的取值集合为.【点睛】本题为数列的创新应用题，考查数学分析与思考能力及推理求解能力，解题关键是读懂题意，根据引入的概念与性质进行推理求解，属于较难题.第 21 页 共 21 页