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2019-2020学年山东省枣庄市第三中学高一3月网上测试数学试题一、单选题1已知点， 则与向量方向相同的单位向量为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题得，设与向量方向相同的单位向量为，其中，利用列方程即可得解.【详解】由题可得：，设与向量方向相同的单位向量为，其中，则，解得：或（舍去）所以与向量方向相同的单位向量为故选A【点睛】本题主要考查了单位向量的概念及方程思想，还考查了平面向量共线定理的应用，考查计算能力，属于较易题2设复数，则（ ）.ABC2D1【答案】A【解析】根据复数的运算法则计算出，结合复数模长公式即可得结果.【详解】由，得.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，复数模长的概念，属于基础题.3设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】若,则需使得平面内有直线平行于直线；若,则需使得,由此为依据进行判断即可【详解】当时,可确定平面,当时,因为,所以,所以；当平面交平面于直线时,因为,所以,则,因为,所以,因为,所以,故A错误,D正确；当时,需使得,选项B、C中均缺少判断条件,故B、C错误；故选:D【点睛】本题考查空间中直线、平面的平行关系与垂直关系的判定,考查空间想象能力4已知，则向量与向量的夹角是( )ABCD【答案】A【解析】由可知，再根据，求解即可.【详解】故选：A【点睛】本题考查平面向量的夹角问题，属于较易题.5如图，在复平面内点P对应的复数，将点P绕坐标原点O逆时针旋转到点Q，则点Q对应的复数的虚部为( )ABCD【答案】B【解析】由题意求得点对应的复数，则其虚部可求【详解】设点对应的向量为，向量绕坐标原点逆时针旋转得到对应的复数为，点对应的复数的虚部为故选：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题6在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为，则角A等于（ ）ABCD【答案】B【解析】根据余弦定理可得，再根据面积公式可得，从而可求出角【详解】解：由余弦定理得，又根据三角形面积公式得，又角为的内角，故选：B【点睛】本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属于基础题7在中，为的中点，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由已知得，转化为以为起点的向量关系，将用向量表示，进而用表示，求出，即可求出结论.【详解】，为的中点，.故选:B.【点睛】本题考查向量基本定理，向量的线性运算，属于基础题.8已知三棱锥中，为中点，平面，则下列说法中错误的是（ ）A若为的外心，则B若为等边三角形，则C当时，与平面所成角的范围为D当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为【答案】B【解析】利用射影相等可知，利用反证法可知不成立，构造线面角，可得其正弦值的范围为，故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行的中位线.【详解】若为的外心，则，由射线相等即可知，故A正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故B错误；当时，过作，连结，易知为与平面所成角，故的范围为，故C正确；取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，其长度为，故D正确【点睛】本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.二、多选题9等边三角形中，与交于，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】AC【解析】根据向量线性运算，求得的表达式，由此判断出正确选项.【详解】由于，所以：，A选项正确.，B选项错误.由于三点共线，所以且，所以，解得.所以C选项正确.，所以D选项不正确.故选：AC【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.10如图，在正四棱锥中，分别是，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论中恒成立的为（ ）.ABC面D面【答案】AC【解析】如图所示，连接相交于点，连接，由正四棱锥性质可得底面，进而得到，可得平面，利用三角形的中位线结合面面平行判定定理得平面平面，进而得到平面，随即可判断A；由异面直线的定义可知不可能；由A易得C正确；由A同理可得：平面，可用反证法可说明D.【详解】如图所示，连接相交于点，连接，.由正四棱锥，可得底面，所以.因为，所以平面，因为，分别是，的中点，所以，而，所以平面平面，所以平面，所以，故A正确；由异面直线的定义可知:与是异面直线，不可能，因此B不正确；平面平面，所以平面，因此C正确；平面，若平面，则，与相矛盾，因此当与不重合时，与平面不垂直，即D不正确.故选:AC.【点睛】本题主要考查了线线平行与垂直，线面平行与垂直的判定熟练掌握线面、面面的位置关系判定定理是解题的关键，属于中档题.三、填空题11已知复数满足，则的取值范围为_.【答案】【解析】根据复数模的几何意义，求得的取值范围.【详解】表示对应的点是单位圆上的点.的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离，所以最小距离为，最大距离为.所以的取值范围为.故答案为：【点睛】本小题主要考查复数模、复数减法的模的几何意义的运用，属于基础题.12已知，且，那么_.【答案】【解析】可根据得出，进行数量积的坐标运算即可得出，根据齐次式的特征即可求得结果.【详解】因为，所以；所以，所以所以.故答案为:.【点睛】本题考查了数量积运算性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.13在中，若，的面积为1，则_.【答案】【解析】先求出的值，然后根据的面积求出，再利用余弦定理，得到的值.【详解】因为，且为内角，所以，因为，所以，由余弦定理，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，余弦定理解三角形，属于简单题.14在四面体中，且，则该四面体体积的最大值为_，该四面体外接球的表面积为_.【答案】 【解析】先由题中数据，得到；取中点为，连接，从而得到，所以该四面体的外接球的球心为，进而可求出其外接球的表面积；再由，底面三角形的面积为定值，的长也为确定的值，结合几何体直观图，可得当平面时，四面体的体积最大，即可求出结果.【详解】因为，且，所以，因此，则；取中点为，连接，则，所以该四面体的外接球的球心为，半径为，所以该四面体外接球的表面积为；又因为，所以；因为底面三角形的面积为定值，的长也为确定的值，因此，当平面时，四面体的体积最大，为.故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，以及三棱锥体积的有关计算，熟记三棱锥结构特征，以及球的表面积公式与三棱锥的体积公式即可，属于常考题型.四、解答题15已知复数，若，且在复平面内对应的点位于第四象限（1）求复数；（2）若，求实数，的值【答案】（1）z1i； （2）a3，b4【解析】（1）由已知求得，结合在复平面内对应的点位于第四象限可得，则复数可求；（2）把代入，整理后由两个复数相等对应实部虚部分别相等即可求解【详解】解：（1），得又在复平面内对应的点位于第四象限，即；（2）由（1）得，解得，【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题16在平面直角坐标系中，已知，.（）若，求实数的值；（）若，求实数的值.【答案】（）；（）.【解析】（）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；（）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（），解得；（），解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.17如图，在三棱柱中，平面，点是的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过证明证得平面，由此证得平面平面.（2）解法一：利用等体积法计算出点到平面的距离；解法二：在平面内，过作，证得就是点到平面的距离，利用等面积法求得点到平面的距离.【详解】（1）证明：平面，平面，是的的中点，又，平面，平面，平面平面；（2）解法一平面，是三棱锥的高，且，由（1）及已知得是腰长为1的等腰直角三角形，又，所以，由（1）得平面，平面，设点到平面的距离为，由，得，因此，点到平面的距离为.解法二：由（1）平面平面，平面平面，在平面内，过作，则平面，故就是点到平面的距离，平面，在中，.利用等面积得，因此，点到平面的距离为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18已知为坐标原点，.（1）求函数在上的单调增区间；（2）当时，若方程有根，求的取值范围.【答案】（1）单调增区间为， （2）【解析】（1）通过向量的坐标运算求出，通过三角公式整理化简，然后可求得其单调区间；（2）将方程有根转化为在上有解，求出在上的值域即可.【详解】（1），则此函数单调增区间：，设，则，所以函数在上的单调增区间为，；（2）当时，若方程有根，所以在上有解，由，得，所以，则，所以.【点睛】本题考查三角函数恒等变形，三角函数的性质，是基础题.19如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为中点,（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且. ()当点在线段上什么位置时，有平面 ？()在()的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？【答案】（1）详见解析；（2）() 点在线段中点时；() 当时.【解析】（1）连接,AC BD=，连接，由为中点，为中点，得，推出平面；（2）() 当点在线段中点时，由线面垂直的判定定理得平面；()当时由()得平面，推出平面平面.【详解】（1）证明：连接,=，因为ABCD是平行四边形，则为中点，连接，又为中点，面， 面 平面.（2）解()当点在线段中点时，有平面取中点，连接，又，又，平面，又是正三角形， 平面()当时，有平面平面过作于，由()知，平面，所以平面平面易得【点睛】本题考查了线面平行和线面垂直，面面垂直的判定定理，数量掌握判定定理的内容是关键，属于中档题.第 17 页 共 17 页
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