大学物理刚体力学基础.ppt

第三章刚体力学基础,倪忠强第2页,刚体一种理想模型.,刚体内任意两质元间距离,在运动过程中保持不变.,由无数个连续分布的质点组成的质点系,每个质点称为刚体的一个质量元.每个质点都服从质点力学规律.,刚体的运动平动和转动.任何复杂的运动为两者的叠加.,一刚体运动的基本形式,倪忠强第3页,刚体的平动,刚体上任一给定直线(或任意二质点间的连线)在运动中空间方向始终不变而保持平行.,刚体的转动,转动刚体内各质元绕同一直线做圆周运动.,定轴转动整个转轴相对参考系静止.,定点转动转轴上只有一点相对参考系静止,转动方向不断变动.,倪忠强第4页,描述刚体转动的物理量,刚体定轴转动的特点:,转动平面:定轴转动刚体上各质点的运动面.,转动平面垂直于转轴.转动平面上各点均做圆周运动,角量相同,线量不同.定轴转动刚体上各点的角速度矢量的方向均沿轴线。,角位移:,角坐标:,角加速度:,倪忠强第5页,线速度与角速度之间的关系:,和是矢量,在定轴转动中由于轴的方位不变,故用正负表示其方向.,定轴转动中的基本关系式:,倪忠强第6页,二定轴转动定律,力对轴的力矩,力的大小？,力的作用点？,表征力对物体转动作用,称为力矩.,倪忠强第7页,力对参考点O的力矩:,大小:,力矩方向由右手螺旋关系确定,垂直于和确定的平面.,力对轴的力矩:,力对轴OA的力矩:,只有能改变刚体的转动状态.,倪忠强第8页,刚体绕定轴的转动定律,把刚体看作一个质点系,合外力矩:,合内力:,加速度：,倪忠强第9页,其中:,转动定律:,刚体在作定轴转动时,刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比.,倪忠强第10页,转动定律,转动惯量的物理意义:反映刚体转动惯性的量度.,转动惯量的定义式:,刚体的总质量(同分布Mm,JMJm).刚体质量分布(同m,J中空J实).转轴的位置.,影响J的因素:,探索演示实验:等质量四筒比滚仪.,倪忠强第11页,例1:求一质量为m,长为l的均匀细棒的转动惯量.(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直.(2)轴通过棒的一端并与棒垂直.,解:,dm对转轴的转动惯量为:,在棒上取质量元,长为dx,离轴O为x.,棒的线密度为:,(1)解为:,(2)解为:,(原点O在棒的左端点),倪忠强第12页,例2:一质量为m,半径为R的均匀圆盘,求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量.,解：,o,R,倪忠强第13页,垂直于杆的轴通过杆的中心,垂直于杆的轴通过杆的端点,垂直于杆的轴通过杆的1/4处,匀质直杆对垂直于杆的转轴的转动惯量,倪忠强第14页,常见形状转动惯量,倪忠强第15页,平行轴定理,若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc,则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是:,倪忠强第16页,挂钟摆锤的转动惯量(杆长为l,质量为m1,摆锤半径为R,质量为m2):,挂在光滑钉子上的匀质圆环摆动的转动惯量(圆环质量为m,半径为R):,倪忠强第17页,例3:如图,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动.假设定滑轮的质量为m0,半径为R,其转动惯量为m0R2/2,滑轮轴光滑.试求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系.,解:由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律:,(3),联立(1),(2),(3)解得:,恒矢量,与时间无关.,由初始条件,得,倪忠强第18页,例4:一半径为R,质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上.若它的初始角速度为0,绕中心O旋转,问经过多长时间圆盘才停止.(设摩擦系数为),解：,倪忠强第19页,例5:一质量为m,长为l的均质细杆,转轴在O点,距A端l/3.今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动,求:(1)水平位置的角速度和角加速度.(2)垂直位置时的角速度和角加速度.,解:平行轴定理,(1),转动惯量:,倪忠强第20页,例5:一质量为m,长为l的均质细杆,转轴在O点,距A端l/3.今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动,求:(1)水平位置的角速度和角加速度.(2)垂直位置时的角速度和角加速度.,解:(2),倪忠强第21页,三刚体定轴转动的机械能和力矩的功,刚体转动动能,动能:,刚体的总动能:,刚体的重力势能,刚体的重力势能等于质量集中于质心的重力势能.,倪忠强第22页,力矩的功和功率,力矩:,力矩的功:,合力矩的功:,力矩功率:,倪忠强第23页,刚体定轴转动的动能定理,刚体定轴转动的功能原理,若,刚体机械能守恒,按选定的系统,确定机械能是否守恒.,倪忠强第24页,例6:一质量为M,半径R的圆盘,盘上绕由细绳,一端挂有质量为m的物体.问物体由静止下落高度h时,其速度为多大？,M,m,解1:,解得：,由动能定理:,倪忠强第25页,将地球、圆盘、物体作为一个系统.,解2:,机械能守恒,解得：,倪忠强第26页,例7:已知:如图滑块质量为m,滑轮半径为R,转动惯量为J,弹簧劲度系数为k,斜面角度为.不计摩擦.当弹簧无形变时将滑块由静止释放.求(1)滑块下滑x时的加速度;(2)下滑的最大距离.,解:(能量微分法)以A,B,C,地球,斜面为系统,机械能守恒.,对t求导:,可得:,A下滑x时:,沿斜面建立坐标,以A的初始位置为原点.,(1)设原点为势能零点.,倪忠强第27页,得,例7:已知:如图滑块质量为m,滑轮半径为R,转动惯量为J,弹簧劲度系数为k,斜面角度为.不计摩擦.当弹簧无形变时将滑块由静止释放.求(1)滑块下滑x时的加速度;(2)下滑的最大距离.,解:(2)设滑块由静止释放沿斜面下滑的最大距离为S,则以A,B,C为系统,其机械能守恒.,原点为势能零点.,倪忠强第28页,四角动量定理及角动量守恒定律,设:t时刻质点的位矢,质点的动量,运动质点相对于参考原点O的角动量定义为:,单位:Kgm2s-1,质点的角动量,角动量大小：,角动量的方向：矢经和动量的矢积方向,倪忠强第29页,如果质点绕参考点O作圆周运动,角动量与所取的惯性系有关.角动量与参考点O的位置有关.,注意:,质点对定轴的角动量,倪忠强第30页,由转动定律:,称为dt时间内刚体所受合外力矩的冲量矩.,角动量定理微分式:,刚体定轴转动的角动量定理,刚体的角动量定理：,刚体在t1t2时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量的增量.,倪忠强第31页,角动量守恒定律:,刚体所受合外力矩为零,则刚体的角动量保持不变.,刚体的角动量守恒定律,探索演示实验:角动量演示仪,倪忠强第32页,物体系的角动量守恒：,对有几个物体或质点构成的系统,若整个系统所受对同一转轴的合外力矩为零,则整个物体系对该转轴的总角动量守恒.,倪忠强第33页,例8:一质量为M,半径为R的转台,可绕中心轴转动.设质量为m的人站在台的边缘上.初始时人、台都静止.若人相对于台沿边缘奔跑一周,问:相对于地面而言,人和台各转过了多少角度?,解:人和盘组成系统.人走动时系统对轴的合外力矩为0,因此系统角动量守恒.,倪忠强第34页,例8:一质量为M,半径为R的转台,可绕中心轴转动.设质量为m的人站在台的边缘上.初始时人、台都静止.若人相对于台沿边缘奔跑一周,问:相对于地面而言,人和台各转过了多少角度?,倪忠强第35页,例9:一半径为R,质量为M的实心橡胶轮以角速度0绕轴转动,另一半径为r,质量为m的小橡胶轮静止.现使小轮与大轮接触.问:两个轮子最后的角速度为多少?,解:由角动量定理:,倪忠强第36页,例10:已知m=20g,M=980g,v0=400m/s,绳不可伸长.求m射入M后共同的v=?,分析哪些物理量守恒.,m、M系统水平方向Fx=0,所以水平方向动量守恒.而竖直方向绳子的冲力不能忽略,动量不守恒.,解:,m、M系统,对O轴角动量守恒(外力矩和为零),有,绳换为棒,情况如何?,倪忠强第37页,5旋进(进动),旋进现象演示,倪忠强第38页,设陀螺质量为m,以角速度自转,重力对固定点O的力矩:,方向沿c点切向,绕自身轴转动的角动量:,由角动量定理的微分式:,O,进动原理,倪忠强第39页,旋进角速度:,说明:旋进现象是自旋的物体在外力距作用下,沿外力矩方向不断改变其自旋角动量方向的结果.,倪忠强第40页,进动原理影视图解,