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第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入,5.1平面向量的概念及线性运算,知识梳理,考点自测,1.向量的有关概念,大小,方向,长度,模,0,1个单位,知识梳理,考点自测,相同,相反,方向相同或相反,平行,相等,相同,相等,相反,知识梳理,考点自测,2.向量的线性运算,b+a,a+(b+c),知识梳理,考点自测,|a|,相同,相反,a,a+a,a+b,知识梳理,考点自测,3.向量共线定理(1)向量b与a(a0)共线,当且仅当有唯一一个实数,使得.注:限定a0的目的是保证实数的存在性和唯一性.(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数,使得,b=a,知识梳理,考点自测,3.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.()(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.()(5)若ab,bc,则ac.(),答案,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.abB.|a|=|b|C.abD.|a|b|,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.已知且四边形ABCD为平行四边形,则()A.a-b+c-d=0B.a-b+c+d=0C.a+b-c-d=0D.a+b+c+d=0,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.(2017北京海淀一模)在ABC中,点D满足则()A.点D不在直线BC上B.点D在BC的延长线上C.点D在线段BC上D.点D在CB的延长线上,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.,答案,解析,考点1,考点2,考点3,例1(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)给出下列命题:若|a|=|b|,则a=b或a=-b;若A,B,C,D是不共线的四点,则是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;a=b的充要条件是|a|=|b|,且ab.其中真命题的序号是.,答案:(1)A(2),考点1,考点2,考点3,解析:(1)若a+b=0,则a=-b,所以ab.若ab,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.(2)不正确.两个向量的长度相等,方向可以是任意的;又A,B,C,D是不共线的四点,四边形ABCD为平行四边形.反之,若四边形ABCD为平行四边形,不正确.相等向量的起点和终点可以都不同;不正确.当ab且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b.综上所述,真命题的序号是.,考点1,考点2,考点3,思考学习了向量的概念后,你对向量有怎样的认识?解题心得对于向量的概念应注意以下几条:(1)向量的两个特征为大小和方向.向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示.(2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量.(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,所以向量只有相等与不相等,不可以比较大小.,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)给出下列命题:两个具有公共终点的向量一定是共线向量;两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;若a=0(为实数),则必为零;已知,为实数,若a=b,则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)设a0为单位向量,若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;若a与a0平行,则a=|a|a0;若a与a0平行,且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数为.,答案,解析,考点1,考点2,考点3,答案,解析,考点1,考点2,考点3,思考在几何图形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的线性运算与代数多项式的运算有怎样的联系?解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线及相似三角形的对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中同样适用.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,例3设两个非零向量a与b不共线.(1)若求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.,考点1,考点2,考点3,(2)解:ka+b与a+kb共线,存在实数,使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb,(k-)a=(k-1)b.a,b是两个不共线的非零向量,k-=k-1=0,k2-1=0,k=1.,考点1,考点2,考点3,思考如何用向量的方法证明三点共线?解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0成立;若1a+2b=0当且仅当1=2=0时成立,则向量a,b不共线.,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)(2017辽宁沈阳三模,理4)已知向量a与b不共线,A.m+n=0B.m-n=0C.mn+1=0D.mn-1=0(2)(2017辽宁沈阳一模)在ABC中,O为其内部一点,且满足则AOB和AOC的面积比是()A.34B.32C.11D.13,答案:(1)D(2)D,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,1.平面向量的重要结论:(1)若存在非零实数,使得则A,B,C三点共线.(2)相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.2.a与b共线b=a(a0,为实数).,考点1,考点2,考点3,易错警示都是零向量“惹的祸”典例(1)下列命题正确的是.(填序号)向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数,使b=a;不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中两个等号不可能同时成立;只有方向相同或相反的向量是平行向量;若向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线.(2)下列叙述错误的是.若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b与a,b其中之一的方向相同;|a|+|b|=|a+b|a与b的方向相同;若a=b,则a=b.,答案:(1)(2)解析:(1)易知错误.向量a与b不共线,向量a,b,a+b与a-b均不为零向量.若a+b与a-b共线,则存在实数使a+b=(a-b),即(-1)a=(1+)b,所以此时无解,故假设不成立,即a+b与a-b不共线.(2)对于,当a+b=0时,其方向任意,它与a,b的方向都不相同;对于,当a,b中有一个为零向量时结论不成立;对于,因为两个向量之和仍是一个向量,所以=0;对于,当=0时,a=b,此时不一定有a=b.,反思提升在向量的有关概念中,定义长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且规定:0与任一向量平行.由于零向量的特殊性,在两个向量共线或平行问题上,如果不考虑零向量,那么往往会得到错误的判断或结论.在向量的运算中,很多学生也往往忽视0与0的区别,导致结论错误.,
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