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8.4直线、平面平行的判定与性质,知识梳理,考点自测,1.直线与平面平行的判定与性质,a=,a,b,ab,a,a,a,=b,a=,ab,知识梳理,考点自测,2.面面平行的判定与性质,=,a,b,ab=P,a,b,=a,=b,知识梳理,考点自测,1.平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.2.判断两个平面平行的三个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.()(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.()(3)若直线a与平面内无数条直线平行,则a.()(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(),答案,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,2.设m,l表示直线,表示平面,若m,则l是lm的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.已知直线l平面,P,则过点P且平行于直线l的直线()A.只有一条,不在平面内B.只有一条,且在平面内C.有无数条,不一定在平面内D.有无数条,一定在平面内,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.下列命题错误的是()A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线也互相平行D.若两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=.,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,例1在如图所示的多面体中,DE平面ABCD,AFDE,ADBC,AB=CD,ABC=60,BC=2AD=4DE=4.(1)在AC上求作点P,使PE平面ABF,请写出作法并说明理由;(2)求三棱锥A-CDE的高.,考点1,考点2,考点3,考点4,解:(1)取BC的中点G,连接DG,交AC于P,连接PE,此时P为所求作的点,如图所示.下面给出证明:BC=2AD,BG=AD,又BCAD,四边形BGDA为平行四边形,DGAB,即DPAB,又AB平面ABF,DP平面ABF,DP平面ABF,AFDE,AF平面ABF,DE平面ABF,DE平面ABF,又DP平面PDE,DE平面PDE,PDDE=D,平面ABF平面PDE,又PE平面PDE,PE平面ABF.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,思考判断或证明线面平行的常用方法有哪些?解题心得1.判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性质(,aa).2.证明线面平行往往先证明线线平行,证明线线平行的途径有:利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为矩形,E为SA的中点,SA=SB=2,AB=2,BC=3.(1)证明:SC平面BDE;(2)若BCSB,求三棱锥C-BDE的体积.,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明:连接AC,设ACBD=O,连接DE,四边形ABCD为矩形,O为AC的中点,在ASC中,E为AS的中点,SCOE,又OE平面BDE,SC平面BDE,SC平面BDE.,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)解:过点E作EHAB,垂足为H,BCAB,且BCSB,ABSB=B,BC平面SAB,EH平面ABS,EHBC,又EHAB,ABBC=B,EH平面ABCD,在SAB中,取AB中点M,连接SM,SA=SB,SMAB,SM=1.,考点1,考点2,考点3,考点4,例2如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,PD底面ABCD,ABCD,ADCD,E为PD上异于P,D的一点.(1)设平面ABE与PC交于点F,求证:EFCD;,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明:ABCD,AB平面PDC,又平面ABE平面PDC=EF,ABEF,EFCD.,考点1,考点2,考点3,考点4,思考空间中证明两条直线平行的常用方法有哪些?解题心得空间中证明两条直线平行的常用方法:(1)利用线面平行的性质定理,即a,a,=bab.(2)利用平行公理推论:平行于同一直线的两条直线互相平行.(3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2如图,在多面体ABCDEF中,DE平面ABCD,ADBC,平面BCEF平面ADEF=EF,BAD=60,AB=2,DE=EF=1.(1)求证:BCEF;(2)求三棱锥B-DEF的体积.,(1)证明:ADBC,AD平面ADEF,BC平面ADEF,BC平面ADEF.又BC平面BCEF,平面BCEF平面ADEF=EF,BCEF.,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)解:过点B作BHAD于点H.DE平面ABCD,BH平面ABCD,DEBH.AD平面ADEF,DE平面ADEF,ADDE=D,BH平面ADEF.BH是三棱锥B-DEF的高.在RtABH中,BAD=60,AB=2,故BH=.DE平面ABCD,AD平面ABCD,DEAD.由(1)知BCEF,且ADBC,ADEF,DEEF.,考点1,考点2,考点3,考点4,例3如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1平面BCHG.,考点1,考点2,考点3,考点4,证明:(1)G,H分别是A1B1,A1C1的中点,GH是A1B1C1的中位线,GHB1C1.又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G四点共面.(2)E,F分别是AB,AC的中点,EFBC.EF平面BCHG,BC平面BCHG,EF平面BCHG.A1GEB,四边形A1EBG是平行四边形,A1EGB.A1E平面BCHG,GB平面BCHG,A1E平面BCHG.A1EEF=E,平面EFA1平面BCHG.,考点1,考点2,考点3,考点4,思考判断或证明面面平行的方法有哪些?解题心得判定面面平行的方法(1)利用定义:即证两个平面没有公共点(不常用).(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(客观题可用).,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3如图所示的几何体ABCEFD中,ABC,DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCEFD的体积;(2)证明:平面ADE平面BCF.,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)解:取BC的中点O,ED的中点G,连接AO,OF,FG,AG.AOBC,AO平面ABC,平面BCED平面ABC,AO平面BCED.同理FG平面BCED.(2)证明:由(1)知AOFG,AO=FG,四边形AOFG为平行四边形,AGOF.又DEBC,DEAG=G,DE平面ADE,AG平面ADE,FOBC=O,FO平面BCF,BC平面BCF,平面ADE平面BCF.,考点1,考点2,考点3,考点4,例4如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形.(1)证明:平面AB1C平面DA1C1;(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP平面DA1C1?若存在,确定点P的位置;若不存在,请说明理由.,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明:由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知,AB1DC1,AB1平面DA1C1,DC1平面DA1C1,AB1平面DA1C1,同理可证B1C平面DA1C1,又AB1B1C=B1,平面AB1C平面DA1C1.,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)解:存在这样的点P,使BP平面DA1C1.A1B1ABDC,四边形A1B1CD为平行四边形.A1DB1C.在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,B1BC1C,B1BCP,四边形BB1CP为平行四边形,则BPB1C,BPA1D,BP平面DA1C1.,考点1,考点2,考点3,考点4,思考解决存在性问题的一般思路是什么?解题心得解决存在性问题一般先假设求解的结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件,若找到了使结论成立的充分条件,则存在;若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾),则不存在.而对于探求点的问题,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PAD=PAB,AC交BD于O,(1)求证:平面PAC平面PBD.(2)延长BC至G,使BC=CG,连接PG,DG.试在棱PA上确定一点E,使PG平面BDE,并求此时的值.,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明:PAD=PAB,AD=AB,AP=AP,PADPAB,PB=PD,O为BD中点,POBD,底面ABCD为菱形,ACBD,ACPO=O,BD平面PAC,BD平面PBD,平面PAC平面PBD.,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)解:连接AG交BD于M,在PAG中,过点M作MEPG交PA于点E,连接ED和EB,PG平面BDE,ME平面BDE,PG平面BDE.ADBG,BG=2AD,ADMGBM,考点1,考点2,考点3,考点4,1.平行关系的转化方向如图所示:2.直线与平面平行的主要判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a,a.,考点1,考点2,考点3,考点4,
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