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极限运算法则,本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。,一、无穷小,在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,1.称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；,2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,3.零是可以作为无穷小的唯一的数.,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3.无穷小的运算性质:,定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,性质1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,性质1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,无界，,不是无穷大,证,三、无穷小与无穷大的关系,定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,四、极限运算法则,定理,证,由无穷小运算法则,得,有界，,注,此定理对于数列同样成立,此定理证明的基本原则：,(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数,(2)有两个重要的推论,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,定理的条件：,存在,商的情形还须加上分母的极限不为0,定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商,定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立,五、求极限方法举例,例1,解,小结:,例2,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例3,解,(消去零因子法),例4,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例5,解,先变形再求极限.,由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。,六、复合函数极限,定理（复合函数极限运算法则变量代换法则）,证,由极限定义得,定理,此定理表明：,则可作代换,极限过程的转化,注,可得类似的定理,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3）无界变量未必是无穷大.,六、小结,3.极限的四则运算法则及其推论;,4.极限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.,思考题1,思考题2,在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？,思考题1解答,不能保证.,例,有,思考题2解答,没有极限,假设有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,
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