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微专题6隐形圆问题,微专题6隐形圆问题题型一与圆的切线有关的隐性圆,例1已知圆O:x2+y2=1,直线l:ax+y=3,若直线l上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得APB=60,则实数a的取值范围是.,答案,解析由APB=60,得APO=30,PO=2OA=2,则点P的轨迹是以点O为圆心,2为半径的圆,方程为x2+y2=4.又直线l上存在点P,所以直线l:ax+y=3与圆x2+y2=4相切或相交,则2.解得a-或a.,【方法归纳】与圆的切线相关的问题,一般连接圆心与切点,在直角三角形中利用边角关系转化,最终求出动点的轨迹方程(即隐性圆),将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系求解.,1-1已知圆O:x2+y2=1,直线l:ax+y=3,若直线l上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得四边形OAPB为正方形,则实数a的取值范围是.,答案,解析由四边形OAPB为正方形,得APB=90.所以APO=45,PO=OA=.所以点P的轨迹是以点O为圆心,为半径的圆,方程为x2+y2=2.又直线l上存在点P,所以直线l:ax+y=3与圆x2+y2=2相切或相交,则,解得a-或a.,题型三与相交弦有关的隐性圆,例2(2017连云港高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+2)2+(y-m)2=3.若圆C存在以G为中点的弦AB,且AB=2GO,则实数m的取值范围是.,答案-,解析由AB=2=2GO,得GO2+CG2=3.设点G(x,y),则x2+y2+(x+2)2+(y-m)2=3.整理,得(x+1)2+=,m22,此即为点G的轨迹方程.又点G在圆C的内部,则+.两边平方并化简,得-恒成立.所以只要m22即可.故m的取值范围是-,.,【方法归纳】当直线与圆相交时,特征三角形(由弦心距、半弦长、半径构成)的应用是最普遍的,在特征三角形中应用边角关系求出动点的条件是解题的关键.,2-1已知A,B是圆O:x2+y2=1上的动点,满足AB=,P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,则|+|的取值范围是.,答案7,13,解析设AB的中点为Q,则OQ=,点Q的轨迹方程是x2+y2=.所以=2.又点P在圆C上,OC=5,所以.所以7,13.,2-2已知A,B是圆O:x2+y2=9上的动点,且直线AB过定点M(2,0),P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,则的取值范围是.,答案4-8,4+8,解析设AB的中点为Q,则OQQM,即点Q在以OM为直径的圆上,点Q的轨迹方程是(x-1)2+y2=1.所以=2.又点P在圆C上,圆心距为2,则2-4,2+4.所以4-8,4+8.,2-3(2018泰州中学高三月考)已知动直线y=kx+4-3k与函数f(x)=的图象交于A,B两点,点P(x,y)是平面上的动点,且满足|+|=2,则x2+y2的取值范围为.,答案16,36,解析函数f(x)的图象关于点C(3,4)对称,直线y=k(x-3)+4也经过点C(3,4),所以A,B两点关于点C对称,=2=2,=1,即点P的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆,圆心C到原点的距离是5.所以圆C上的点到原点的距离4,6,则x2+y216,36.,1.(2018扬州中学高三模拟)若直线kx-y-k+2=0与直线x+ky-2k-3=0交于点P,则OP长度的最大值为.,答案2+1,解析直线kx-y-k+2=0恒过点A(1,2),直线x+ky-2k-3=0恒过点B(3,2),且两直线垂直,则它们的交点P的轨迹是以AB为直径的圆,方程是(x-2)2+(y-2)2=1.又圆心(2,2)到原点O的距离为2,所以OP长度的最大值为2+1.,2.(2017南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为.,答案3,解析由题意可得,直线l1恒过定点(0,2),直线l2恒过定点(2,0),且l1l2,则点P的轨迹是以(0,2)和(2,0)为直径两端点的圆,方程为(x-1)2+(y-1)2=2.又圆心(1,1)到直线x-y-4=0的距离为=2,所以点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为3.,3.(2017江苏扬州高三期末)已知ABC是边长为3的等边三角形,点P是以A为圆心的单位圆上一动点,点Q满足=+,则|的最小值是.,答案-,
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