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第4讲几何证明选讲、不等式选讲,专题八附加题,板块三专题突破核心考点,考情考向分析,1.考查三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理；圆内接四边形的性质与判定，属B级要求.2.考查含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,热点一三角形相似的判定及应用,证明,例1(2018徐州模拟)如图，AB是圆O的直径，弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.,求证：AB2BEBDAEAC.,所以BDBEBABF.,证明连结AD，BC，因为AB为圆O的直径，所以ADBD，又EFAB，则A，D，E，F四点共圆，,所以BEBDAEACBABFABAFAB(BFAF)AB2.,在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理.同时，要注意等量的代换.,证明,跟踪演练1如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD.,证明连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，,所以ADOACB90.又因为AA，所以RtADORtACB.,又BC2OC2OD，故AC2AD.,热点二圆有关定理、性质的应用,证明,例2(2018江苏南京师大附中模拟)在ABC中，已知ACAB，CM是ACB的角平分线，AMC的外接圆交BC边于点N，求证：BN2AM.,证明如图，在ABC中，因为CM是ACB的角平分线，,因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，,所以BN2AM.,本题使用三角形内角平分线定理和圆的切割线定理，灵活进行等量代换，较好体现了化归和转化的数学思想.,证明,跟踪演练2(1)(2018南通、徐州、扬州等六市模拟)如图，A，B，C是O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D.求证：DBDCOD2OA2.,证明如图，延长AO交O于点E，,则DBDCDEDA(ODOE)(OAOD).OEOA，DBDC(OAOD)(OAOD)OA2OD2.DBDCOD2OA2.,证明,(2)(2018江苏盐城中学模拟)如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB，AC分别交于点E，F.已知AD为BAC的平分线.,求证：EFBC.,证明如图，连结ED.,因为圆与BC切于D，所以BDEBAD.因为AD平分BAC.所以BADDAC.又DACDEF，所以BDEDEF.所以EFBC.,热点三不等式的证明,证明,证明a,b,c为正实数，,(当且仅当abc时取“”).故原式成立.,证明,(2)已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.,证明因为x0，y0，,当且仅当xy1时，等号成立.,证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等；依据不等式的结构特征，也可以直接使用柯西不等式进行证明.,证明,跟踪演练3已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.,证明2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab).因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.,热点四柯西不等式,证明,(abcd)21，,又(1a)(1b)(1c)(1d)5，,解答,因为abc1，,利用柯西不等式证明不等式或求最值时，要先根据柯西不等式的结构特征对式子变形，使之与柯西不等式有相似的结构.,解答,解由柯西不等式得，,(xyz)216，,真题押题精练,证明,1.(2018江苏)如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C.若PC，求BC的长.,证明如图，连结OC.,因为PC与圆O相切，所以OCPC.,又因为OB2，从而B为RtOCP斜边的中点，所以BC2.,证明,2.(2018江苏)若x，y，z为实数，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值.,证明由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因为x2y2z6，所以x2y2z24，,所以x2y2z2的最小值为4.,3.(2017江苏)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，APPC，P为垂足.,求证：(1)PACCAB；,证明因为PC切半圆O于点C，所以PCACBA，因为AB为半圆O的直径，所以ACB90，因为APPC，所以APC90.因此PACCAB.,证明,证明,(2)AC2APAB.,即AC2APAB.,证明,4.(2017江苏)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8.,证明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)，因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.,
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