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第11讲圆锥曲线的基本问题,第11讲圆锥曲线的基本问题1.已知双曲线-=1(a0)的一条渐近线方程为y=2x,则该双曲线的焦距为.,答案10,解析由双曲线-=1(a0)的一条渐近线方程为y=2x,得=2,解得a=.所以c=5.故该双曲线的焦距为2c=10.,2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.若直线AF的斜率k=-,则线段PF的长为.,答案6,解析易得抛物线y2=6x的焦点F,准线l:x=-.设P(x0,y0),则=6x0,A,直线AF的斜率k=-.解得y0=3,则x0=.所以|PF|=x0+=6.,3.已知椭圆C:+=1的左焦点为F,点M是椭圆C上一点,点N是MF的中点,O是椭圆的中心,|ON|=4,则点M到椭圆C的左准线的距离为.,答案,解析设右焦点为F,则|MF|=2|ON|=8,|MF|=2a-|MF|=10-8=2.设点M到左准线的距离为d,则=,d=.,4.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B1,B2分别为椭圆C:+=1(ab0)的右、下、上顶点,F是椭圆C的右焦点.若B2FAB1,则椭圆C的离心率是.,答案,解析由题意,得B2(0,b),F(c,0),B1(0,-b),A(a,0).由B2FAB1,得=-=-1.所以b2=ac.又b2+c2=a2,所以e2+e-1=0.又椭圆的离心率e(0,1),所以e=.,5.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的焦距为6,则所有满足条件的实数m构成的集合是.,答案,解析由方程-=1表示双曲线,得m0,a2=2m2,b2=3m.所以c=.又双曲线的焦距是6,所以2c=6,c=3.所以2m2+3m=9.解得m=(-3舍去).故实数m构成的集合是.,题型一圆锥曲线的标准方程,例1(1)(2018南京师大附中高三模拟)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=2x,它的一个焦点与抛物线y2=20 x的焦点相同,则双曲线的方程是.(2)(2018泰州中学高三月考)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,右焦点为F2,点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过点M作圆x2+y2=b2的切线,交椭圆于P,Q两点.若PF2Q的周长为4,则椭圆C的方程为.,答案(1)-=1(2)+=1,解析(1)由双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=2x,得=2.由它的一个焦点与抛物线y2=20 x的焦点(5,0)相同,得c=5.又b2=c2-a2=4a2,则a2=5,b2=20.所以双曲线的方程是-=1.(2)如图,由椭圆的离心率为,得e=.又a2=b2+c2,则b2=a2.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1,x20,则|PF2|=a-x1,|QF2|=a-x2.,同理|PM|=x1,|QM|=x2,则PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PM|+|QM|=2a=4.所以a=2,b=.故椭圆C的方程为+=1.,【方法归纳】(1)求圆锥曲线标准方程的方法:定义法、待定系数法、几何性质法;(2)双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程是y=x,双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程是y=x;(3)过圆外一点作圆的切线,切线长一般利用几何法求解,即在直角三角形中利用勾股定理求解;(4)双曲线中基本量a,b,c的关系是a2+b2=c2,椭圆中则是a2-b2=c2.,1-1(2018江苏三校高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为,则此双曲线的准线方程为.,答案x=,解析由双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是,得b=,则双曲线x2-=1的准线方程为x=.,题型二圆锥曲线的离心率问题,例2(1)(2018江苏盐城高三模拟)若双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O,P,Q三点,且直线PQ经过抛物线的焦点,则该双曲线的离心率为.(2)(2018高考数学模拟)椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆上恰好有6个不同的点P,使得F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是.,答案(1)(2),解析(1)因为直线PQ经过抛物线的焦点,所以PQ是抛物线的通径,则P(1,2)或(1,-2).因为点P在双曲线的渐近线上,所以=2,双曲线的离心率e=.(2)由题意,得c)经过点(2,1),则当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时,椭圆的离心率e的值为.,答案,解析由椭圆+=1(ab0)经过点(2,1),得+=1.该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长4=4=44=12,当且仅当=,即a2=2b2时取等号.联立,解得a2=6,b2=3,c2=3.所以则椭圆的离心率e=.,题型三圆锥曲线与圆的简单综合,例3在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p0)的上半支(y0)与圆(x-2)2+y2=3相交于A,B两点,直线y=x恰好经过线段AB的中点,则p的值为.,答案,消去y,得x2+(2p-4)x+1=0,则x1+x2=4-2p,x1x2=1.又直线y=x恰好经过线段AB的中点,则AB的中点为D(2-p,2-p).又圆心C(2,0),则直线CD的斜率kCD=.,解析设A(x1,),B(x2,).联立抛物线与圆的方程,得,因为(+)2=x1+x2+2=4-2p+2=6-2p,所以+=,直线AB的斜率kAB=.由垂径定理,可得CDAB,则kCDkAB=-1,02,故舍去.,【方法归纳】直线与圆的位置关系一般利用几何法,即比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小,若d=r,则直线与圆相切,反之也成立.同时要注意圆的几何性质在解题中的应用,如垂径定理等.,3-1(2018盐城中学高三数学阶段性检测)若双曲线-=1(a0,b0)的离心率为3,其渐近线与圆x2+y2-6y+m=0相切,则m的值是.,答案8,解析由双曲线的离心率为3,得c=3a.所以=2,则双曲线的渐近线方程是y=2x.,又y=2x与圆x2+y2-6y+m=0相切,且圆心(0,3)到渐近线的距离d=1,则半径=1,m=8.,
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