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微专题14数列中的创新性问题,微专题14数列中的创新性问题题型一新定义数列的创新型问题,例1(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列an满足:an-k+an-k+1+an-1+an+1+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(nk)总成立,则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列an是“P(3)数列”;(2)若数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:an是等差数列.,证明(1)因为an是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,从而,当n4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差数列an是“P(3)数列”.(2)数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,当n4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.由知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).,将代入,得an-1+an+1=2an,其中n4,所以a3,a4,a5,是等差数列,设其公差为d.在中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d,在中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d,所以数列an是等差数列,【方法归纳】解决数列新定义运算型创新问题时,对新定义信息的提取和化归转化是解题的关键,也是解题的难点.,1-1(2017江苏泰州中学模拟)若数列an中不超过f(m)的项的个数恰为bm(mN*),则称数列bm是数列an的生成数列,称相应的函数f(m)是数列an生成bm的控制函数.(1)已知an=n2,且f(m)=m2,写出b1、b2、b3;(2)已知an=2n,且f(m)=m,求bm的前m项和Sm.,解析(1)b1=1,b2=2,b3=3.(2)m为偶数时,an中有项满足题意,则bm=;m为奇数时,an中有项满足题意,则bm=,故bm=m为偶数时,Sm=b1+b2+bm=(1+2+m)-=;m为奇数时,Sm=Sm+1-bm+1=-=.,故Sm=,题型二新定义性质型创新问题,例2(2018南师附中、天一、海门、淮阴四校联考)设数列an的首项为1,前n项和为Sn,若对任意的nN*,均有Sn=an+k-k(k是常数且kN*)成立,则称数列an为“P(k)数列”.(1)若数列an为“P(1)数列”,求数列an的通项公式;(2)是否存在数列an既是“P(k)数列”,也是“P(k+2)数列”?若存在,求出符合条件的数列an的通项公式及对应的k的值;若不存在,请说明理由;(3)若数列an为“P(2)数列”,a2=2,设Tn=+,证明:Tn3.,解析(1)数列an为“P(1)数列”,则Sn=an+1-1,故Sn+1=an+2-1,两式相减得an+2=2an+1,又n=1时,a1=a2-1,所以a2=2,故an+1=2an对任意的nN*恒成立,即=2(常数),故数列an为等比数列,其通项公式为an=2n-1,nN*.(2)假设存在这样的数列an,则有Sn=an+k-k,故有Sn+1=an+k+1-k,两式相减得an+1=an+k+1-an+k,故有an+3=an+k+3-an+k+2,同理由an是“P(k+2)数列”可得:an+1=an+k+3-an+k+2,所以an+1=an+3对任意nN*恒成立,所以Sn=an+k-k=an+k+2-k=Sn+2,即Sn=Sn+2,又Sn+2=an+k+2-k-2=Sn-2,即Sn+2=Sn-2,两者矛盾,故不存在这样的数列an既是“P(k)数列”,也是“P(k+2)数列”.,(3)证明:因为数列an为“P(2)数列”,所以Sn=an+2-2,所以Sn+1=an+3-2,故有,an+1=an+3-an+2,又n=1时,a1=a3-2,故a3=3,满足a3=a2+a1,所以an+2=an+1+an对任意正整数n恒成立,数列的前几项为:1,2,3,5,8,故Tn=+=+,所以Tn=+,两式相减得:Tn=+-=+-=+Tn-2-,显然Tn-20,故Tn+Tn,即Tn3.,【方法归纳】解决数列新定义性质型创新问题时,需要细细品味新定义的概念、法则,对新定义的信息进行加工,探求解决方法,有时可以寻找相近知识点,明确它们的共同点和不同点.,
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