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第三章级数,1复数项级数,2幂级数,3泰勒级数,4洛朗级数,2幂级数,1.幂级数概念,2.收敛圆与收敛半径,3.收敛半径的求法,4.幂级数的运算和性质,1.幂级数的概念,称为复变函数项级数。最前面n项的和,设,称为这级数的部分和。,区域D内有定义。表达式,为一复变函数序列,其中各项在,存在,则称复变函数项级数在z0收敛,而s(z0)称为它的和。,如果对于D内的某一点z0,极限,若级数在D内处处收敛,则和一定是z的一个函数s(z)：,s(z)称为级数,的和函数。,这种级数称为幂级数。,级数的特殊情形:,如果令,或,当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项的,形式,为了方便,今后常就讨论第二式。,这是第二式的,则上式就成为,定理一(阿贝尔Abel定理),若级数,在,收敛，则对满足,的z，级数必绝对收敛，如果在,级数发散，则对满足,的z，级数必发散。,同高等数学中的幂级数一样，复变幂级数也有所谓,幂级数的收敛定理。,证,因,收敛，则,则存在使对所有的n有,如果,，则,而,由于,为公比小于1的等比级数，故收敛，因此,亦收敛，从而级数,是绝对收敛的。,如果级数,发散，且如果。,用反证法，设级数,结论可导出,收敛，与所设矛盾，因此只能是,发散。,反而收敛，则根据前面的,2.收敛圆和收敛半径,利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一,个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种：,i)对所有的正实数都是收敛的。这时,根据阿贝尔,定理可知级数在复平面内处处绝对收敛。,ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的。这时,级数,在复平面内除原点外处处发散。,iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散,的正实数。设,时,级数发散。当由小逐渐变大时,(正实数)时,级数收敛,(正实数),一个以原点为中心,R为半径的圆周CR。,必定逐渐接近,显然a1，所以原级数在收敛圆,上是处处收敛的。,例2求下列幂级数的收敛半径,(并讨论在收敛圆周上的情形)；,(并讨论z=0,2时的情形)；,1),2),3),解,2),级数收敛；当z=2时，原级数成为,也有级数的发散点。,，即R=1。,这个例子表明，在收敛圆周上即有级数的收敛点，,上，当z=0时，原级数成为,在收敛圆,发散。,例2求下列幂级数的收敛半径,(并讨论在收敛圆周上的情形)；,(并讨论z=0,2时的情形)；,1),2),3),解,3),因为,故收敛半径为,，所以,2),上，当z=0时，原级数成为,，级数收敛；当z=2,上即有级数的收敛点，也有级数的发散点。,，即R=1。在收敛圆,时，原级数成为,发散。这个例子表明，在收敛圆周,3),因为,故收敛半径为,因为这是一个p级数，p=31，所以原级数在收敛圆,上是处处收敛的。,，所以,例求下列幂级数的收敛半径,1),2),3),解,1),4),5),例求下列幂级数的收敛半径,1),2),3),解,2),4),5),例求下列幂级数的收敛半径,解,3),1),2),3),4),5),例求下列幂级数的收敛半径,解,4),1),2),3),4),5),例求下列幂级数的收敛半径,1),2),3),解,5),4),5),4.幂级数的运算和性质,在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两,个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到,的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积。在,象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算。,具体说来，设,中较小的一个，也就是,各种情形，所得到的幂级数的收敛半径大于或等于r1与r2,为了说明两个幂级数经过运算后所得的幂级数的收敛半,径确定可以大于r1与r2中较小的一个,下面举一个例子。,例3设有幂级数,与,，求,的收敛半径。,例3设有幂级数,与,，求,的收敛半径。,解,但级数,容易验证，,与,的收敛半径都等于1,的收敛半径,的公共收敛圆域,自身的收敛圆域大于,这就是说,，但应注意，使等式,与,例3设有幂级数,与,，求,的收敛半径。,解,的公共收敛圆域,自身的收敛圆域大于,这就是说,，但应注意，使等式,与,成立的收敛圆域仍应为,，不能扩大。,更为重要的是代换(复合)运算,就是：,把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用。,如果当,时,又设在,内g(z)解析且满足,则当,时，,。这个代换运算,在,例4把函数,表成形如,的幂级数，其中,a与b是不相等的复常数。,解,把函数,写成如下形式：,当,时，有,例4把函数,表成形如,的幂级数，其中,a与b是不相等的复常数。,解,设,从而可得,，那么当,时，上式右端的级数收敛，,例4把函数,表成形如,的幂级数，其中,a与b是不相等的复常数。,解,设,，那么当,时，上式右端的级数收敛，,且其和为,且。因为z=b时，,阿贝尔定理知，当,级数发散，即上式右端的级数,当|z-a|b-a|=R时级数收敛,上式右端的级数发散，故由,时，,的收敛半径为,本题的解题步骤为：首先把函数作代数变形，,使其分母中出现量,再按照展开式为已知的函数,的形式写成,，其中,。然后把,展开式中的z换成g(z)。,例把函数,分别表成形如,和,的幂级数，并求其收敛半径。,解,(1)把函数,而,时，即,展开成形如,的幂级数，,即,例把函数,分别表成形如,和,的幂级数，并求其收敛半径。,解,(2)把函数,而,时，即,展开成形如,的幂级数，,即,定理四设幂级数,的收敛半径为R，则,1)它的和函数,是收敛圆,的解析函数。,2)f(z)在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导,内,得到，即,3)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即,或,复变幂函数也象实变幂级数一样，在其收敛圆内具,有下列性质：,例求下列幂级数的收敛半径及其和函数,1),2),3),解,1),2),例求下列幂级数的收敛半径及其和函数,1),2),3),解,3),例求下列幂级数的收敛半径及其和函数,1),2),3),解,1),4),2),3),4),
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