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第二章随机变量及其分布,2.1随机变量的概念2.2离散随机变量2.3泊松分布2.4连续随机变量2.5均匀分布指数分布2.6随机变量的分布函数2.8随机变量的独立性2.9随机变量函数的分布,2.1随机变量的概念,例掷两颗质量均匀的骰子，样本空间由36个样本点ij组成，其中i，j分别表示第一颗、第二颗骰子出现的点数（i=1,2,6,j=1,2,6）。由于等可能性，易知,设两颗骰子出现的点数之和X，这X可能取的数值为2,3,12。X可以看作是定义在样本空间上的函数，即,定义：设随机试验E的样本空间=，若对于每一个样本点，变量X都有确定的实数与之对应，则X是定义在上的实值函数，即X=X()，这样的变量X称为随机变量。通常用大写字母表示随机变量。,随机变量X是由样本空间到实数轴的单值映射。若映射的范围只有有限个或可列无穷多个，则称随机变量X为离散的；若映射的范围是某个实数区间（有界或无界），则称随机变量X为非离散的。,2.2离散随机变量,定义若随机变量X只能取有限个数值x1,x2,xn或可列无穷多个数值x1,x2,xn,则称X为离散型随机变量；,（2.1）,则称为X的概率函数或概率分布。,离散随机变量X取得任何一个可能值xi的概率P(X=xi)，记作,或记为,概率函数P(xi)具有下列性质：,（2.2）,（2.3）,当取得有限个可能值时，表示有限项的和；当取得可列无穷多个可能值时，表示收敛级数的和,书p31例某人参加射击游戏，射击的靶如图。设每次射击不会发生脱靶，并且击中1环、2环、4环的概率分别与各环的面积成正比，求此人两次独立射击所得环数的乘积的概率分布。,解试验的样本空间,其中样本点ij表示“第一次击中i环，第二次击中j环”设随机变量X表示两次射击所得环数的乘积,每次射击“击中环”“击中环”“击中环”的概率分别为：,两次射击独立，有,因此可求得随机变量X取各个可能值的概率，如表,定义(二项分布)设随机变量X的概率函数为,其中n为正整数，0p1,p+q=1,则称随机变量服从二项分布，记作XB(n,p)，其中n,p是分布的参数。,2.3泊松分布,（2.5）,设一批产品共N件，其中有M件次品，即次品率从这批产品中“放回抽样依次取n件样品”，则样品的次品数,特别当n=1,二项分布B(1,p)称为”0-1”分布，这是随机变量只能取两个数字：0或1，且概率函数为,泊松分布：定义设随机变量X的概率函数为,其中0；则称随机变量服从泊松(Poisson)分布，记作其中是分布的参数。,由指数函数的幂级数展开式可知：,可证明：当n充分大而p很小(p3的内的概率,解:因为与相互独立，其概率密度为,所以(X，Y)的联合分布为：,（）因为随机变量X与Y相互独立,（）（，）落在区间内的概率,2.随机变量函数的分布,由已知的随机变量的分布求得随机变量函数的分布。,书p52例1已知X的概率分布如表，求Y=X2-2X的概率分布。,Y的概率分布:,解:,解X在区间(0,1)取值,Y将在区间(1,3)内取值,Y的分布函数,两边对y求导：,所以Y的概率密度为,书P53例设随机变量在区间-1,2上服从均匀分布，即概率密度为,求随机变量函数的概率密度,解：当X在区间-1,2上取值，Y将在区间0,1或1,4上取值。所以应分别讨论：,（1）当0y1时，如右上图,（2）当1y0时，如图,Z的分布函数：,Z的概率密度：,例p55设随机变量与是相互独立，概率密度函数分别为求它们的最大值max(X,Y)及最小值min(X,Y)的分布函数,(书p61例)有两路公共汽车都经过某个中途站，然后沿着同一路线驶向终点。已知这两路公共汽车都是每隔分钟经过这个中途站，并且是相互独立的。在该站候车的乘客可以乘坐任一路公共汽车前往沿线各站。假定乘客到达该站的时刻是等可能的，求乘客在该站候车的时间不超过分钟的概率。,解：设随机变量Xi表示等候第i路公共汽车的时间(i=1,2)候车时间不超过分钟的概率为,本章重点,随机变量的概率分布求法根据密度函数求概率分布函数的求法及应用随机变量函数分布的求法,
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