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教学基本要求与教学重点：【1】了解弯曲切应力公式推导思想与各符号的意义【2】会用弯曲正应力与切应力强度条件进行强度分析【重点】【3】掌握提高梁强度的主要措施降低最大弯矩值、提高抗弯截面系数复习：弯曲正应力公式弯曲内力的微分关系与切应力互等定理93弯曲切应力,第20讲93、94、95,95提高弯曲强度的措施,94梁的弯曲剪应力强度条件,静力关系,实验,平面假设,单向受力假设,中性层、中性轴,中性轴过横截面形心,EIz称为抗弯刚度(Flexuralrigidity),复习纯弯曲正应力公式,纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:,M为梁横截面上的弯矩,y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离,Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩,【1】应用公式时,一般将M,y以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号).凹入边的应力为压应力(为负号).,【2】最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处,则公式改写为,（1）当中性轴为对称轴时,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,z,y,（2）对于中性轴不是对称轴的横截面,当梁上有横向力作用时,横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲(Nonuniformbending),横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.,一、横力弯曲(Nonuniformbending),虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明,工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式,可以用于计算横力弯曲时横截面上的正应力.,等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为,二、公式的应用范围(Theapplicablerangeoftheflexureformula),1、在弹性范围内(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit),3、平面弯曲（Planebending）,4、直梁（Straightbeams）,2、具有切应力的梁（Thebeamwiththeshearstress）,三、强度条件（Strengthcondition)：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力,1、数学表达式（Mathematicalformula),2、强度条件的应用(Applicationofstrengthcondition),(2)设计截面,(3)确定许可载荷,(1)强度校核,要求分别不超过材料的许用拉应力(Allowabletensilestress)和许用压应力(Allowablecompressivestress),复习弯曲内力的微分关系与切应力互等定理,【1】弯曲内力的微分关系弯矩的导数等于剪力公式下面要用。【2】切应力互等定理,一、梁横截面上的切应力,1、矩形截面梁,93/94弯曲切应力梁的切应力及强度条件,(1)两个假设,横截面上各点处的切应力均与侧边平行（切应力与剪力平行）(b)切应力沿截面宽度均匀分布(即距中性轴等距离处切应力相等),思考：合理性？,直接对应力分布进行假设,切应力平行侧边,切应力沿宽度方向均布,(1)两个假设,假设,(2)分析方法,(a)用横截面m-m,n-n从梁中截取dx一段.两横截面上的弯矩不等.所以两截面同一y处的正应力也不等.,(b)假想地从梁段上截出体积元素mB1，在两端面mA1,nB1上两个法向内力不等.,(c)在纵截面上必有沿x方向的切向内力dFs.故在此面上就有切应力，由切应力互等定理（为横截面上的切应力），,根据假设横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等，各点的切应力方向均与截面侧边平行，取分离体的平衡即可求出.,(3)公式推导,假设m-m,n-n上的弯矩为M和M+dM.两截面上距中性轴为y1处的正应力为1和2.,m,n,n,(3)公式推导,假设m-m,n-n上的弯矩为M和M+dM.两截面上距中性轴为y1处的正应力为1和2.,A*为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积,化简后得,由平衡方程,(4)切应力沿截面高度的变化规律(Theshear-stressdistributionontherectangularcrosssection),沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定,（4）矩形截面上的弯曲切应力分布抛物线分布,可见,切应力沿截面高度按抛物线规律变化.,y=h/2(即在横截面上距中性轴最远处)=0,y=0(即在中性轴上各点处),切应力达到最大值,式中,A=bh,为矩形截面的面积.,附：截面静矩的计算方法,A为截面面积,为截面的形心坐标,2、工字形截面梁（工-sectionbeam),假设求应力的点到中性轴的距离为y.,研究方法与矩形截面同,切应力的计算公式亦为,d腹板的厚度【切应力当地宽度】,距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A*对中性轴的静矩.,(a)腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化.,(b)最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.,假设,(a)沿宽度kk上各点处的切应力均汇交于o点.,(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.,在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.,3、圆截面梁(Beamofcircularcrosssection),最大切应力发生在中性轴上,4、圆环形截面梁(Circularpipebeam),图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为,环的平均半径为r0,由于r0故可假设,(a)横截面上切应力的大小沿壁厚无变化.,(b)切应力的方向与圆周相切.,式中A=2r0为环形截面的面积,横截面上最大的切应力发生中性轴上,其值为,z,y,r0,二、强度条件（Strengthcondition）,三、需要校核切应力的几种特殊情况,（1）梁的跨度较短,M较小,而FS较大时,要校核切应力.,（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时,要校核切应力.,（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差,要校核切应力.,思考题,下述薄壁梁上指定截面处的弯曲切应力如何计算？如何分布？,例题4某空心矩形截面梁，分别按图a及图b两种方式由四块木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合方式下胶合缝上的切应力。梁的横截面上剪力FS已知。,解：图a所示胶合方式下，由图可知：,图b所示胶合方式下，由图可知：,例题5一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F=30kN.跨长l=5m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力=170MPa,许用弯曲切应力=100MPa，试校核梁的强度.,解：此吊车梁可简化为简支梁,力P在梁中间位置时有最大正应力.,(a)正应力强度校核,由型钢表查得20a工字钢的,所以梁的最大正应力为,(b)切应力强度校核,在计算最大切应力时,应取荷载F在紧靠任一支座例如支座A处所示,因为此时该支座的支反力最大,而梁的最大切应力也就最大.,据此校核梁的切应力强度,以上两方面的强度条件都满足,所以此梁是安全的.,解(1)计算支反力做内力图.,例题6简支梁AB如图所示.l2m,a0.2m.梁上的载荷为q10kN/m,F200kN.材料的许用应力为=160MPa,100MPa,试选择工字钢型号.,(2)根据最大弯矩选择工字钢型号,查型钢表,选用22a工字钢,其Wz309cm3,（3）校核梁的切应力,腹板厚度d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN,查表得,max超过很多，应重新选择更大的界面.现已25b工字钢进行试算,所以应选用型号为25b的工字钢.,95提高梁强度的主要措施（Measurestostrengthenthestrengthofbeams),一、降低梁的最大弯矩值,1、合理地布置梁的荷载,按强度要求设计梁时,主要是依据梁的正应力强度条件,2、合理地设置支座位置,当两端支座分别向跨中移动a=0.207l时,思考：比较a0、a0.2L、a0.207L时，最大弯矩值。,二、梁的合理截面,(1)尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使抗弯截面系数Wz增大。,由四根100mm80mm10mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为160mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：,图a所示截面,图b所示截面,图c所示截面,图d所示截面,合理选择截面形状,在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,工字形截面与框形截面类似.,（2）合理的放置,2、对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧.,（3）根据材料特性选择截面形状,1、对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面,要使y1/y2接近下列关系:最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力,三、等强度梁的概念,梁各横截面上的最大正应力都相等,并均达到材料的许用应力,则称为等强度梁.,梁任一横截面上最大正应力为,求得,思考等强度梁的宽度b(x)？又bmin=?为什么？,求得,求得,梁任一横截面上最大正应力为,求得,但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度,求得,F,l/2,l/2,按上确定的梁的外形,就是厂房建筑中常用的鱼腹梁.汽车的叠板弹簧接近等强度梁。,等强度梁的概念,思考题对于图中的吊车大梁,现因移动荷载F增加为50kN,故在20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲正应力=152MPa,许用切应力=95MPa.试校核此梁的强度.,解加强后的梁是阶梯状变截面梁.所以要校核,(3)F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力,(2)F靠近支座时支座截面上的切应力,(1)F位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力,(1)校核F位于跨中时截面时的弯曲正应力,查表得20a工字钢,F,最大弯矩值为,跨中截面对中性轴的惯性矩为,略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩.,抗弯截面系数,(2)校核突变截面处的正应力,也就是校核未加强段的正应力强度.,该截面上的弯矩为最大,从型钢表中查得20a工字钢,(3)校核阶梯梁的切应力,F靠近任一支座时,支座截面为不利荷载位置,请同学们自行完成计算.,
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