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,第一章行列式,习题（A）,1.用定义计算行列式,2.已知,求,解因为,所以,或,或,3.已知,求,解因为,所以,或,或,4.,的充分必要条件是什么?,解因为,令,得,或,所以,的充分必要条件是,或,5.求下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性,解,所以,为偶排列,所以,为奇排列,所以当,或,时为偶排列;当,或,时为奇排列.,小的数码个数为,，于是在新排列,小的数码个数为,7.设,则,是多少？,解假设在原排列,中，,后面比,，则比,大的数码个数为,中,前面比,大的数码个数为,同理，设原排列,中,则比,6.选择,使排列,解当,时，,为,为偶排列，当,时，,为偶排列，当,时，,为偶排列.,为偶排列.,大的数码个数为,于是在新排列,中,前面比,大的数码个数为,依次类推，可得,新排列中,前面比,大的数码个数为,于是,8.下列各题，哪些是五阶行列式,中的一项？,若是，试决定该项的符号.,解因为,是五阶行列式中位于,不同的行与不同的列的五个元素，所以,是五阶行列式中的一项，且,于是该项带正号.,因为,这五个元素中有两个,元素,与,位于同一列，所以,不是,五阶行列式中的一项.,因为,是五阶行列式中位于不同,的行与不同的列的五个元素，所以,是五阶行列式中的一项.且,于是该项带负号.,因为,是五阶行列式中位于不同的行,与不同的列的四个元素.所以,不是五阶行列,式的一项.,9.在六阶行列式,中，下列各项应取什么符号？,解因为,，所以,该项取正号.,因为,，所以,该项取负号.,因为,，所以,该项取负号.,因为,，所以,该项取正号.,因为,，所以,该项取负号.,10.写出四阶行列式中所有带负号并且包含因子,的项.,解四阶行列式中包含因子,的所有项为：,带有负号并且包含因子,的项为：,11.设,阶行列式中有,个以上的元素为零，证明,该行列式的值为零.,证明因为,阶行列式共有,个元素，已知,个以上元素为零，所以非零元素不足,个.而,阶行列,式的每一项都是由取自不同的行不同列的,个元素的,的乘积构成.因此每一项中至少有一个元素取零，于,是该项为零，从而该行列式的值也为零.,12.用行列式定义计算行列式,解此行列式有位于不同的行与不同的列的,个非,零元素的乘积,与,他们所带的符号分别为,与,因此,解此行列式刚好只有处在不同的行与不同的列的,个非零元素,故非零项只有一项,该项所带的符号为,因此,解此行列式刚好只有处在不同的行与不同的列的,个非零元素,故非零项只,该项所带的符号为,因此,有一项,解此行列式刚好只有处在不同的行与不同的列的,个非零元素,故非零项只有,一项,该项所带的符号为,因此,13.由行列式定义计算,中,与,的系数,解此行列式中涉及,与,的项分别为：,与,所带的符号分别为,与,所以,与,的系数分别为,与,14.多项式,中的常数项是多少？,解此行列式中的常数项应是,与,所带的符号分别为,与,所以,中的常数项是,15.已知,求,解,所以,16.用行列式性质证明下列等式,证明,17.用行列式性质计算下列行列式,18.计算下列行列式,当,时,19.求行列式,中元素,和,的代数余子式,解,20.已知四阶行列式,中第三列元素依次为,他们的余子式依次是,求,解,21.设行列式,分别按,的第二行,和第四列展开，计算其值.,解,22.计算行列式,解,解法一：将,按第,行展开得：,同理可得：,于是：,解法二：将,按第,列展开得：,于是,当,时，,当,时，,假设当,时结论成立，则当,时，将,按第,列展开得：,因此由数学归纳法知，对任意的正整数,有,23.试证：如果,次多项式,对,个不同的,值都是零，则此多项式恒等于零.,证明设,个不同的,值分别为,则,即,这可看成是以,为未知量的齐次线性方程,组，其系数行列式为：,于是由克莱姆法则知上述齐次线性方程组仅有零解.,即,也即,24.利用范德蒙行列式计算.,*25.利用拉普拉斯展开定理计算下列行列式.,解取定第一行，第二行可组成6个二阶式，它们是,由拉普拉斯定理知：,解取定第一行，第二行第三行可组成9个三阶式，它们是：,由拉普拉斯定理知：,26.解下列方程组：,解,所以,解,所以,解,所以,所以,解,所以,所以,27.对于三次多项式,已知,求,解设,则,即,解之得,所以,28.有一个多项式,当,时,的值分别为,试求,在,时的值.,解由已知得：,即求以,为未知数的线性方程组的解：,因为,所以,于是,习题（B）,1.是非判断,阶行列式中，若有,个以上元素为零，则,行列式的值必为零;,解对,因为,阶行列式共有,个元素，若有,个以,上元素为零，则非零元素不足,个，而行列式中的,每一项都是由取自不同的行与不同的列的,个元素,之积所构成，因此每一项至少有一个元素取零，于是该项为零，从而行列式的值也为零.,阶行列式主对角线上元素乘积必带正号,解对,因为,阶行列式主对角线上的元素分别为,且,所以,前必带正号,阶行列式次对角线上元素乘积必带负号,解错,因为,阶行列式主次角线上的元素分别为,且,所以,前带符号,，未必是负.,解错,的代数余子式与,所处的行，列有关，与,的值亦有关；,解错,因为,的代数余子式与,所处的行，列有关，与,的值无关.,任一方程组均可由克莱姆法则求解.,解错,因为克莱姆法则只能应用于,个方程，,个未知量的方,程组，并且系数行列式还不等于零.,三阶行列式共有,项.,解错,因为三阶行列式共有,项.,每个元素之和为零的行列式值为零.,解对,因为,将行列式,的第,行各元素乘以,后加于第,行的对应元素上，设所得的行列式为,则,解错,因为,设,则,解错,因为设,则当,为偶数时，,则当,为奇数时，,2.填空,若,是五阶行列式中带正号的一项，则,设,为互异实数，则,的充分必要,条件是,设,则,中常数项为,项的系数为,设,则,阶行列式,设,则,设五阶行列式,则,设,则,设,则,其中,存在二阶导数；,*设随机变量,独立分布，,则行列式,的数学期望,若,的代数余子式,则代数余子式,元素,的,阶行列式的值为,设,阶行列式,则,如果,则,由行列式乘法可得：,三元齐次线形方程组：,满足,时，只有零解；,方程组,当,为,时，有非零解；,若齐次线形方程组,有非零解，则,满应满足的条件,解,因为,是五阶行列式中的一项，所以,与,都是五级排列，于是,或,而当,时，,于是,带正号.,因为,所以当,互异时，,的充要条件是,因为,中的常数项为,项为,所以,项的系数为,因为,因为当,时，,当,时，,因为,所以,因为,因为,所以,因为,因为,因为,所以,于是,因为元素为,的,阶行列式,为,因为,因为,因为,令,则,所以,因为系数行列式,所以,因为系数行列式,所以,因为系数行列式,所以,3.用行列式定义证明,证明由行列式的定义知，它的每一项都是取自不同行不同列的五个元素的乘积，在第三行中只有二个非零元素,和,，当第三行取元素,时，第四行元,素只能取,，而第五行所能取的只有零元素，故这,一项为零，同理，当第三行取元素,时，第四行元,素只能取,，而第五行所能取的也只有零元素，这,一项为零，行列式其它项也都含有零因子，所以,4.由,证明：奇偶排列各半,证明因为,所以,的奇偶各半，即,级排列奇偶各半,5.证明：奇数阶反对称行列式等于零,阶行列式,的展开式中正数个数为,证明：,当,为奇数时，,因为,设,的展开式中正数个数为,，负数的个数为,则,所以,6.已知,试求,解,7.已知,试求,解,8.用行列式定义计算行列式,解,解,解,解,解,9.设,试证：,为等差数列,证明将,按第一列展开得：,即,所以,是等差数列,10.,满足什么条件时，方程组,只有零解,解欲使方程组只有零解，需系数行列式,即,切,
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