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第五节多维随机变量的函数的分布,设(X,Y)为二维随机变量,讨论X,Y的一个函数Z=g(X,Y)的分布(X,Y)经变换后为一维随机变量).,一、离散型随机变量函数分布我们可以从下面两个例子中总结出一般的方法。例1:设(X,Y)的分布律为,求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分布律。,解:(1)V=Max(X,Y)可能取值为：0，1，2，3，4，5。,PV=0=PX=0,Y=0=0；,PV=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0+PX=1,Y=1=0.01+0.01+0.02=0.04；,同理，可求出其它取值的概率。所以V的分布律为,V=0,V=1,V=2,V=3,V=4,V=5,(2)U=Min(X,Y)的可能取值为：0，1，2，3PU=i=PX=i,Yi+PXi,Y=i,i=0,1,2,3.U的分布律为,U=0,U=1,U=2,U=3,(3)W=X+Y的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8.,W的分布律为,W=0,W=1,W=2,W=3,W=4,W=5,W=6,W=7,W=8,二、连续型随机变量函数的分布问题：设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f(x,y),又Z=g(X,Y)为X与Y的函数,若Z是连续型随机变量,要求Z的概率密度。一般的方法是先求出Z的分布函数Fz(z),然后由FZ(z)求出Z的概率密度fZ(z).,例:设(X,Y)的概率密度为x+,0,0且，试分别就以上三种联接方式写出L的寿命Z的概率密度.,解:(i)串联的情况由于当L1,L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以这时L的寿命为Z=min(X,Y)。由指数分布X,Y的分布函数分别为,由公式得Z=min(X,Y)的分布函数为,于是Z=min(X,Y)的概率密度为,(ii)并联的情况由于当且仅当L1,L2都损坏时,系统L才停止工作,所以这时L的寿命Z为Z=max(X,Y),按公式得Z=max(X,Y)的分布函数,于是Z=max(X,Y)的概率密度为,(iii)备用的情况.由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始工作,因此整个系统L的寿命Z是L1,L2两者寿命之和,即:Z=X+Y.按公式,当z0时，Z=X+Y的概率密度为,当z0,y0,显然有P(X,Y)A=1,对变换():,当(x,y)A时,(u,v)的值域为:G=(u,v)|u0,v0,且此变换满足定理中的条件(i)(ii)(iii)变换()解得,所以,由定理得(U,V)的联合密度为,(2)可由(U,V)的联合密度求出U,V的概率密度fU(u),fV(v),(3)容易看出,对于任意u,v有,所以U,V相互独立.,例2:设X,Y相互独立,服从同一分布N(0,1)而,(R,)是平面上随机点(X,Y)相应的极经,极角,即有关系,求(R,)的联合密度.解:记A=(x,y)|(x,y)0,G=(r,)|r0,02,显然有P(X,Y)A=1且变换满足定理的条件,并且,由定理得(R,)的联合密度为,顺便我们看出R,的概率密度分别为,并且R与是相互独立的。,注释在求Z=g(X,Y)的概率密度时,可以再找一个X与Y的函数W=h(X,Y)使得对变换满足定理的条件,利用定理的结论就可以求出（Z,W）的联合密度，再由联合密度便可求出Z的概率密度。可以用此方法导出X+Y，X/Y，XY，X-Y等简单函数的概率密度的一般公式。要求是重点掌握在独立性条件下求几个简单函数X+Y，Min(X,Y)，Max(X,Y)的分布。,小结本章以二维随机变量为主，讨论了多维随机变量的(1)联合分布(2)边缘分布(3)X,Y的独立性(4)条件分布(5)二维随机变量函数的分布。对于多维随机变量不难推广，请同学自学关于正态分布的一些结论：1若XN(,2)，则,2若XN(,2)，则,3若Xi服从二维正态分布N(i,i2),Xi相互独立，i=1,2,n.则,4(X,Y)服从二维正态分布，=0X与Y相互独立（X与Y不相关）；5(X,Y)服从二维正态分布X,Y也服从正态分布；(X,Y)服从二维正态分布其条件分布也是正态分布;6若X,Y为正态同分布且相互独立服从瑞利分布；,若X,Y为正态同分布且相互独立Z=X/Y服从柯西分布；7数字特征：见下章。,
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