《自由度系统》PPT课件.ppt

第二章单自由度系统,主讲：王林鸿教授、博士机械与汽车工程学院,第二章主要内容,自由振动；简谐强迫振动；周期振动；非周期振动。,2.1引言,单自由度系统：只有一个自由度；可以用一个线性常微分方程描述；可以把握振动系统的许多基本性质；是多自由度和连续体系统振动理论的基础。,典型的单自由度系统:弹簧-质量系统,梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧-质量系统,单自由度系统示例,2.2无阻尼自由振动,自由振动：在初始激励或外加激励消失后的振动形态；振动时无外界激励；振动规律完全取决于系统本身的性质（固有特性）。,2.2.1运动微分方程,列出图2-2所示系统的运动微分方程,振动工程研究所,建模步骤,建立坐标系原点为静平衡点坐标正向为标示外力方向分离体法设质量在坐标正方向有一位移对质点标明惯性力、弹性力、阻尼力力平衡牛顿第二定律,振动工程研究所,由繁入简,方程分类,单自由度系统振动方程自由振动方程无外激励偏离静平衡初始条件无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的特点,振动工程研究所,无阻尼单自由度系统的自由振动,方程,初始条件(定解条件),注意,特点二阶常系数齐次方程,振动工程研究所,解的形式与试探解,微分方程解=通解（+特解）,（1）试探解的提出与代入（2）用初始条件定系数,数学理论,实际经验,运动微分方程,固有频率,根据牛顿第二定律：,初始条件：,弹簧力：,质量只受弹簧力，故：,左边内力、右边外力,整理成振动微分方程的常见形式：,固有频率,固有：生来就有；内因：与外界无关，只与自身的质量和刚度有关。至关重要敬而远之。,运动微分方程的解,运动微分方程为二阶常系数线性常微分方程，它的通解为：,取决于初始条件,可见：单自由度无阻尼自由振动是简谐振动。,周期为：,频率为：,简谐振动,机械能守恒,得到运动微分方程的又一种方法,由运动方程推导能量方程,简谐运动能量守恒，振幅不变,注意：上述结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐标系有助于简化问题的求解。以下例说明。例2.1考虑汽车的垂直振动，并只考虑悬架质量，弹性元件为汽车的板簧。此时汽车垂直振动模型如图23(a)所示，忽略阻尼。,图23,弹簧原长位置,静平衡位置,原点选取不恰当的弊端,在振动分析中，通常只对系统的动力响应感兴趣，希望方程的解中只包括动力响应。将描述系统振动的坐标系的原点取在系统的静平衡位置可以做到这一点。,由运动方程求能量方程,标准自由振动方程,原点选取恰当的好处,动态响应,坐标原点=静平衡位置（必须的）,结论:对于线性振动系统，可将其受到的激励分为与时间无关的静载荷和与时间有关的动载荷，分别计算系统的静力响应和动力响应，系统的总响应为静力响应和动力响应之和。,坐标原点选取,坐标原点=静平衡位置（必须的）,例、一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。,因此,此振动为简谐振动。,以平衡位置O为原点,弹簧原长,挂m后伸长,某时刻m位置,伸长,受弹力,平衡位置,解：,求平衡位置,k,坐标原点,动载荷与静载荷,动载荷与静载荷（是否与时间有关）。动力响应与静力响应（振动学与静力学）。总响应为动力响应与静力响应两者之和。振动学只对动力响应感兴趣。静力学关注的是总量，振动学关注的是增量；静力学研究的是稳定状态，振动学研究的是变化。,2.2.2求固有频率的方法,由系统运动微分方程求得；静态位移法；能量法。,1静态位移法,用静力学的方法确定动力学系统的固有频率妙！,横梁与弹簧串联：总变形量为分变形量之和,2.能量法系统振动时动能、势能要相互转换。根据能量关系也能求系统的固有频率。对于单自由度系统，用能量法求固有频率有两种方法：,由能量守恒得运动方程,瑞利商,能量守恒是普遍规律，能量方法是普遍方法,例2.3如图2-5所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过一转动惯量为I的滑轮与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此时系统可视为单自由度系统，求系统的固有频率。,图2-5,坐标有两种取法：1、滑轮转角2、质量位移x,坐标取法：1、滑轮转角,利用能量守恒原理是求解微分方程的重要手段,例题：如图所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过一转动惯量为I的滑轮与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此时系统可视为单自由度系统，求系统的固有频率。,系统的势能为,o,x,解：原点取在静平衡位置，弹簧的相对伸长为x，滑轮沿顺时针方向转过一个角度x/r,系统的动能包括滑轮的转动动能和质量的平动动能,由,与书上的结果比较：注意势能的计算，可以不计重力势能，只相差一个常数，不影响计算结果,坐标取法：2、质量位移x,两种坐标取法计算的该系统的固有频率的结果是一样的。可见：系统的固有频率与所选取的坐标系无关。上题如果用静态位移法求解，将涉及未知的绳与滑轮的靡擦力，因而无法计算静态位移。因此能量法对有约束力但约束力不做功的情况更为适用。,讨论：,2.2.3有效质量,离散系统建模约定：质量集中在惯性元件上，弹性元件无质量；实际上，没有无质量的弹性元件，当弹性元件质量所占比例较大时，不能忽略。能量等效方法求有效质量：把动能集总到惯性元件上。弹性元件的质量是分布的，需要适当地假定速度分布规律：速度分布与位移分布有相同的形式。动能意义上的质量为等效质量；势能意义上的刚度为等效刚度。,例2.4如图26所示系统，在考虑弹簧质量的条件下求系统的固有频率。,把弹簧分布质量集总到惯性元件上方法：动能等效,附加质量,等效质量,通常称系统在动能意义下的质量为系统的等效质量。注意它并不一定等于系统惯性元件的质量加上其他元件的质量。同样可以定义等效刚度，它是指在势能意义下的刚度。,图27,把两个弹簧刚度集总成一个弹簧方法：势能等效,2.3阻尼自由振动,振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的能力的物理量。产生阻尼的原因是多种多样的，有些阻尼的机理至今尚不清楚。由于线性系统本身就是对实际问题的近似，因而对阻尼往往也作线性化处理。在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼。在线性振动理论中规定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大小与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数c为常数。用产生粘性阻尼力的阻尼器作为离散系统的主要元件之一。,单自由度系统阻尼自由振动的模型如图28所示。,图28,图210,图210,图210,阻尼对频率影响很小对振幅影响很大,大阻尼系统衰减快；高频成分衰减快。,阻尼减振方法,一种求阻尼比的方法：,图211,图212,实际系统的阻尼比范围,2.4单自由度系统的简谐强迫振动,简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结构的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造成的。简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激励下系统响应的基础。利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分析其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测试系统振动特性最常用的方法之一。,2.4.1系统在简谐激励下的响应,典型的受简谐激励的单自由度系统示于图213。,图213,简谐强迫激励项,静力转化为静位移,简谐强迫振动运动微分方程,图214,通解瞬态响应,特解稳态响应,全解两者叠加：前段：瞬态占优；后段：稳态占优；最后：瞬态消失，稳态主导。,求特解的过程,求振幅、相角和表达式,图214,从波形图可以看出：,求通解的过程,全解,通解,特解,通解,衰减因子,全解=瞬态响应+稳态响应瞬态响应昙花一现，不劳多谈；稳态响应主导江山，集中研判！今后，只研究稳态响应项。,稳态响应项的规律,要命的是频率（比）！,2.4.2复频率响应幅频特性与相频特性,稳态响应的幅值和相角是激励频率的非线性函数，在理论分析和实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响应的影响。简谐运动可用复数表示，因而稳态振动也可用复数表示，设有下面两个方程：,用复数表示的目的是为了求解方便，所求的响应解职是取其对应的其中一部，本教材通常取实部。,复数,实数,稳态响应复数,响应振幅实数,响应：激励（对应物理量之比）,要命的是频率（比）！,图215,图215,熟记三个特殊点就等于掌握三个区域的规律,系统稳态振动时，惯性力、弹性力、阻尼力都是与激励同频率的简谐量，分别为：,频率比所处区域不同，与激励构成动平衡的力的种类不同,图216,0,弹性控制区,图216,惯性控制区,图216,阻尼控制区,单摆1作垂直于纸面的简谐运动时，单摆5将作相同周期的简谐运动，其它单摆基本不动.,共振现象,共振现象的危害,1940年7月1日美国Tocama悬索桥因共振而坍塌,应用,防止,钢琴、小提琴等乐器提高音响效果收音机选台核磁共振物质结构的研究和医疗诊断等,改变系统的固有频率或外力的频率破坏外力的周期性增大系统的阻尼对精密仪器使用减振台,无量纲量,品质因子、阻尼比两者之间的关系,半功率点定义,带宽、阻尼比、品质因子三者之间的关系,半功率点与带宽,例2.6,注意：品质因子是无量纲量,2.4.3能量关系与等效阻尼,道不同，不相为谋；士为知己者死；冰火两重天！,说明：无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，由于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成系统的机械能即振动的能量。外力持续给系统输入能量，使系统的振动能量直线上升，振幅逐渐增大。由此可知，即使是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积累振动能量。这在实际中很重要，有些机械结构在起动或停机时无法避免通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅速通过共振区的办法来解决。,图217,等效阻尼,振动能量的耗散有多种形式；把其他形式的阻尼等效为粘性阻尼，线性化。方法：令系统耗散的能量与粘性阻尼耗散的能量相同。求等效参数多采用能量法。,能量等效是最普遍的方法,2.5简谐强迫振动理论的应用,2.5.1旋转失衡引起的强迫振动在旋转机械中，旋转失衡是使系统振动的外界激励的主要来源。旋转失衡的原因是高速旋转机械中转动部分的质量中心与转轴中心不重合。图220为旋转失衡的示意图。,图220,不平衡是绝对的，平衡是相对的；关键是根据需要把失衡量控制在允许的范围内；方法是：做静平衡、动平衡试验。,内部激振,失衡激励下的幅频特性图和相频特性图：,图221,图221,图221,响应与激励反相,2.5.2支承运动引起的强迫振动,系统的支承部分如果有运动也可使系统发生强迫振动，这在工程实际中经常遇到。例如，精密仪器受周围环境振动的影响而振动，车辆由于在不平路面上行驶而引起振动等等。如果支承的运动可以用简谐函数描述，则系统的振动可用简谐强迫振动理论来分析。典型的支承运动的模型如图222所示。,图222,环境激振,相对运动,下一节定义的：消极隔振系数,图223,不同区域阻尼的作用是不同的。不能想当然！,分水岭,2.5.3隔振原理,振动隔离指将机器或结构与周围环境用减振装置隔离，它是消除振动危害的重要手段。实际工程中的振动隔离可分为两类：积极隔振、消极隔振对自身是振源的机器，为减少它对周围环境的影响，将其与支承它的基础隔离开，这类隔振称为积极隔振。其力学模型的特点是，激励作用于质量m，引起m的振动。要求把振源m与支承它的基础(弹簧和阻尼器的另一端)隔离(参见图224(a)。比如，对大型发动机、大型电机、汽轮机、冲床和振动台等都要安装一定的隔振装置以减少对周围环境的影响。,图224,积极隔振：我不犯人！,两种隔振原理相似：方法是把需要隔离的机器设备安装在合适的具有弹性和阻尼的减振装置或隔振装置上，使大部分振动被减振装置或隔振装置吸收，以阻断振动的传递。,对允许振动很小的精密仪器和设备，为减少周围环境振动对它的影响，需要把它与支承它的基础隔离，这类隔振称为消极隔振。它的力学模型的特点是，激励是由基础运动产生的，振源是基础运动(参见图222)，要求质量m的振动尽可能小。,消极隔振：人不犯我！,隔振效果指标,积极隔振：隔力！,消极隔振：隔位移！,图223,X为设备隔振后的振幅A为振源振幅,分水岭,隔振器的频率比应足够大（隔振弹簧足够软）；隔振器的阻尼降低隔振效果。,2.5.4惯性式测振仪原理（自学）,惯性式测振仪通常是把由弹性元件支承的惯性质量装在适当的壳体内，限制质量沿一给定的轴运动。阻尼通常由壳体内的粘性液体提供。用检测元件测量质量块与壳体之间的相对运动作为系统的输出(见图225)。,图225,选取不同的频率比和阻尼比，可使测振仪测量不同的振动参数。测振仪本身的主要性能参数有，灵敏度、测量精度、测量频率范围等等。,图226,2.5.5转轴的横向振动,某些旋转机械在开机及停机过程中，当机器的转速经过某个定值时，会出现剧烈的振动，这对机器十分有害。这个定值通常称为临界转速。为保证机器安全，开机及停机时必须快速超越临界转速。在设计机器时必须使转轴的工作转速远离转轴的临界转速。转轴的临界转速一般很接近转轴横向自由振动的固有频率。,图227,转子的三个中心,转子三个中心：几何中心S；质量中心G；回转中心O。不重合是必然的；重合时偶然的。,图228,二力杆：作用线为一条直线,转轴的横向振动（不计阻尼）,转轴发生共振,转轴的横向振动（计及阻尼）,三力平衡,转轴的横向振动（计及阻尼）,增大偏心量,减小偏心量,自动定心，这就是采用柔性转子的原因,26周期强迫振动,非简谐的周期激励在工程结构的振动中大量存在。旋转机械失衡产生的激励多半是周期激励。按简谐激励求解：如果周期激励中的某一谐波的幅值比其他谐波的幅值大的多，可视为简谐激励。按周期激励求解：将周期激励展为傅里叶级数，然后分别求出各个谐波所引起响应，再利用叠加原理得到系统的响应。,简谐激励,非简谐周期,非周期激励,随机激励,生产实际,理论基础,力,位移,复杂问题分解简单问题单元单元解叠加复杂问题解,周期振动的谐波分析,周期振动,展成傅氏级数,n=1,2,3,n=1,2,3,周期振动的谐波分析,一个周期振动可视为频率顺次为基频及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。,在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析,周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。,周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。,周期振动的谐波分析,函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。这种分析振动的方法称为频谱分析。由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。,傅氏变换的意义：从总体中划分出组成成分，按成分分门别类分别求解，再由成分解叠加为总题解。,周期振动的谐波分析,周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项近似表示周期振动。例1.1已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。,解矩形波一个周期内函数F(t)可表示为,表示F(t)的波形关于t轴对称，故其平均值为零。,周期振动的谐波分析,n=1，2，3,于是，得F(t)的傅氏级数,F(t)是奇函数，在它的傅氏级数中也只含正弦函数项。在实际的振动计算中，根据精度要求，级数均取有限项。F(t)的幅值频谱如图所示。,超过10阶的谐波实际工程意义不大,周期力作用下系统的稳态响应的特性：,a.系统的稳态响应是周期振动，其周期等于激振力的周期,b.系统的稳态响应由激振力的各次谐波分量分别作用下的稳态响应叠加而成。,c.系统稳态响应中，频率最靠近固有频率的谐波最大，在响应中占主要成分；频率远离固有频率的谐波很小，在响应中占次要成分。换言之，系统相当于一个滤波器，放大了靠近固有频率的激励谐波分量，而抑制了远离固有频率的激励谐波分量的响应。,2.7非周期强迫振动,除了周期激励之外的所有激励都是非周期激励，更接近工程实际。求解方法有：傅里叶变换法（傅里叶积分）；拉普拉斯变换法；脉冲响应法。,其中是一个任意函数。求解思路：先把一般激励分解为一系列简单激励的线性组合，然后求出各简单激励下系统的响应，再运用线性系统响应的可叠加性获得一般激励引起的响应。,问题及方程,1、Fourier变换法,对一般激励进行分解的一种直观方法是将其分解为无限多简谐激励之和,F氏变换(无穷大周期F级数展开),式中,激励频域分布,周期激励扩展,周期激励傅里叶级数，非周期激励傅里叶积分,频域响应解,(位移)频响函数,重要概念,单位简谐力引起的系统稳态位移，又称作动柔度,(1)是系统输出与输入的Fourier变换之比，与激励幅值大小无关，与系统初始条件无关。(2)完整地包含了系统的动特性信息。,测试理论公式,振动工程研究所,频响函数与放大系数关系,频响函数对应的时域意义,单位脉冲响应与频响函数互为F氏变换,时域解的两种解法,振动工程研究所,2、Laplace变换法,L氏变换定义,RZ,ZR,一般不作直接计算式,自动控制理论的基本方法：把系统作为一个振荡环节处理,变换的目的是简化运算；有公式表可查。,振动工程研究所,动力学方程与L氏域解,（与初始条件有关）,零初始条件,振动工程研究所,Laplace逆变换得,传递函数定义,定义系统位移（输出量）的Laplace变换与激振力（输入量）的Laplace变换之比为传递函数,振动工程研究所,传递函数与单位脉冲响应是一个Laplace变换对,传递函数与频响函数关系,频率域是s域的特款，而频响函数是传递函数的特款。,殊途同归,振动工程研究所,3、单位脉冲响应法,矩形波,（1）单位脉冲函数（Dirac)及其性质,积分性质(定义),取极限,脉冲函数演化,单位性,度量性或称抽样性,（象尺一样量出各时刻的函数值）,（2）脉冲载荷及其响应,理想脉冲力：作用时间极短，幅值极大，但冲量有限。,脉冲载荷定义：,冲量速度变换：,冲量,冲量定理,振动工程研究所,当脉冲在作用时，响应延迟为,当冲量F=1,单位脉冲响应(阻尼系统自由振动解),系统进行初始条件如下的自由振动。,专用h(t)表示t时刻单位原点脉冲激励的响应,相当于y轴左移,单位脉冲响应特点讨论,脉冲响应完全由系统本身的物理性质决定，与激励无关；与复频率响应一样，反映了系统的振动特性（天赋）；锤击法测固有频率和阻尼的依据，简单快捷。,振动工程研究所,（3）Duhamel卷积积分（无限多个脉冲激励响应的线性叠加）,单个脉冲的响应,所有脉冲响应叠加,F,F,F,卷积积分；任意激励的响应,例2.9,例2.10,振动工程研究所,单位阶跃响应是系统在新平衡位置的自由振动,卷积积分的性质,脉冲响应、频率响应、传递函数之间的关系,第二章习题,2.12.42.62.82.102.112.132.162.26,谢谢大家,