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第8章非正弦周期电流电路,本章目次,1非正弦周期电流和电压,2周期函数分解为傅里叶级数,3非正弦周期量的有效值、平均功率,4非正弦周期电流电路的计算,随着科技的发展，非正弦周期函数的电流和电压愈加普遍。本章介绍应用傅里叶级数和叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法，讨论非正弦周期电流、电压有效值和平均功率的计算，简要介绍非正弦周期信号频谱的概念和对称三相电路中的谐波。,1.非正弦周期电流的产生,2）非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波）,引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？,基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。,根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。,3）有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。例如，由半波整流，全波整流得到的电压，电流,非正弦周期电流电路分析方法：谐波分析法,这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后求解不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加。,响应也是非正弦周期量，如何求响应？,1傅里叶级数,周期为T，角频率为的周期函数f(t)可表示为,当其满足狄里赫利条件即：1)f(t)在任何一个周期内，连续或存在有限个间断点；2)f(t)在任何一个周期内，只有有限个极大值和极小值；3)在任何一个周期内，函数绝对值的积分为有界值，,f(t)可以分解为如下的傅里叶级数,基本要求：掌握傅里叶级数的三角形式，理解谐波概念。,在电路分析中，一般用傅里叶级数的另一种形式。,(8.1)、(8.6)式比较，得,2谐波分析将周期函数分解为恒定分量、基波分量和各次谐波的方法。,谐波振幅Amk随角频率k变动的情形如图8.3所示,图中竖线称为谱线，长度表示Amk的量值；相邻两谱线的间隔等于基波角频率。这种谱线间具有一定间隔的频谱称为离散频谱。同样可以画出相位频谱，用以表示各次谐波的初相随角频率k变动的情形。,求图所示周期性方波的傅里叶展开式，并画其频谱。,根据下式求A0、ak和bk,所给波形在一个周期内的表达式：,因为ak=0，所以于是得到,说明:式中引入新的正整数n以区别原来的正整数k。,图8.4周期性方波,傅里叶级数式,只含有正弦项,不含恒定分量和余弦项,因为恒定分量和余弦项都是偶函数.,3.周期函数的波形与傅里叶系数的关系,当周期函数的波形具有某种对称性质时，利用函数对称性可使系数A0、ak、bk的确定简化。,傅里叶级数中只含有余弦项和恒定分量(当A00时),而没有正弦项,这是因为正弦项都是奇函数。,即时，函数关于原点对称，,展开式中只有奇次谐波。计算奇次谐波系数，只需计算半个周期内积分,说明：奇、偶函数与计时起点有关，奇次谐波函数与计时起点无关级数收敛快慢与波形光滑程度及接近正弦波程度有关当存在上述任何一个条件时，谐波分析可简化如下：a不必计算等于零的系数b计算非零系数时，积分区间可减半，同时积分式乘以2。,即，A0=0,解f(t)=-f(-t)，A0=0，ak=0，只需求bk,f(t)=-f(tT/2)，展开式中只有奇次谐波,存在两个对称条件，可在T/4内积分，并乘以4,其谐波振幅与k2成反比,补充8.1求图所示三角波的傅里叶展开式,代入,几种常见周期函数的傅里叶级数,1当给出函数f(t)在一个周期内的表达式，便可以直接代入上式计算有效值。,补充8.2计算图示方波的有效值,解写出所给波形在一个周期内的表达式,有效值：周期量的有效值等于其瞬时值的方均根值，即,基本要求：透彻理解非正弦周期量有效值和平均功率的定义。,2正弦级数形式求有效值,代入式得,根据：,分别称为基波、二次谐波的有效值,式(8.17)表明任意周期量的有效值等于它的恒定分量、基波分量与各谐波分量有效值的平方和的平方根，与各次谐波初相无关。,设一端口网络的端口电压、电流取关联参考方向，则其输入的瞬时功率为p=ui,其平均功率就是瞬时功率在一周期内的平均值，即,平均功率,已知周期电流，求其有效值。,式中Uk、Ik分别为第k次谐波电压和电流的有效值，为第k次谐波电压与电流间的相位差,非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量、基波分量和各次谐波分量分别产生的平均功率之和。同时说明：不同频率的电压和电流不产生平均功率。,线性电路在非正弦周期激励时的稳态分析步骤：,1)把给定的非正弦周期性激励分解为恒定分量和各谐波分量。,2)分别计算电路在上述恒定分量和各谐波分量单独作用下的响应。求恒定分量响应要用计算直流电路的方法；求各次谐波分量的响应，则要应用计算正弦电流电路的方法（相量法）。,3)根据叠加定理，把恒定分量和各谐波分量的响应相量转化为瞬时表达式后进行叠加。,基本要求：熟练掌握用叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法。,图示电路中.(1)求电流源的端电压u及其有效值；(2)求电流源发出的平均功率。,(a),直流分量作用，电路模型如图(b)所示,（b）,电流源的端电压及其有效值分别为,电流源发出的平均功率,补充8.5图(a)所示电路，电源电压求各支路电流和电源发出的平均功率；在支路串一电磁式仪表，计算该表读数。,在R2支路串一电磁式电流表，指针偏角即所测为有效值,3)瞬时叠加,补充8.6图示电路中iS=2+cos(104t/s)A,uS=2cos(104t/s+90)V。(1)求两电源发出的功率之和。(2)求iL及其有效值。,解：电流源直流单独作用时,正弦电源作用时列回路KVL方程,两电阻交流作用下吸收功率和为,两电源发出功率和为,图(a)中LC构成滤波电路，其中L=5H，C=10F。设输入为工频正弦经全波整流电压，如图(b)所示，电压振幅，负载电阻R=2000。求电感电流i和负载端电压ucd。,(1)图（b）电压的傅里叶级数为,(2)分别计算电源电压的恒定分量和各次交流分量引起的响应。恒定电压作用时电感相当于短路，电容相当于开路，故,电压基波作用。此时基波角频率应为,RC并联电路的阻抗为,ab端口的输入阻抗,二次谐波的作用角频率加倍,可见负载电压中二次谐波有效值仅占恒定电压的，所以不必计算更高次谐波的影响。,(3)把相量变化为瞬时表达式叠加。,说明:负载电压ucd中最大的谐波，即基波有效值仅占恒定分量的2.5%，表明这个LC电路具有滤除各谐波分量作用滤波电路或滤波器。电感L起抑制高频交流的作用扼流圈。并联电容C起减小负载电阻上交流电压的作用旁路电容。,
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