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第三章多自由度系统的振动,在工程实际中，有很多问题需要简化为多个自由度系统模型.,3.1引言,本章研究内容多自由度系统建模；2.两自用度系统的自由振动；3.两自用度系统的受迫振动；4.”拍“的现象；5.多自由度系统的振动（解偶分析法）,3.2多自由度系统振动微分方程建立的方法,1.达朗贝尔原理：在应用上比较简单，但是它对一些比较复杂约束较多的结构也有不便之处.,2.拉格朗日方程（Lagrange）设系统具有n个自由度，以n个广义坐标表示系统的位形，系统的势能为V，系统的动能为T,Lagrange函数为：,拉格朗日方程为：,系统的势能只是坐标的函数，有,:为对应有势力以外的其它非有势力的广义力（不含阻尼力）.,对于线性系统我们研究系统在平衡位置附近的微幅振动，取静平衡位置作为坐标的原点，q0=0,作Taylor级数展开：,为势能在平衡位置处的大小，(0)0表示(0)在平衡位置处的值。,如果势能从平衡位置算起，则有,则有,写成矩阵形式：,动能：,代入拉格朗日方程：,写成矩阵形式：,例,解：选用广义坐标,和,对于线性系统运动，运动是微幅的,代入动能和势能：,作用于系统的广义力沿x方向为F(t)，沿方向为,代入Lagrange方程：,即柔度矩阵与刚度矩阵互逆,3.刚度法与柔度法建立振动微分方程,为柔度影响系数，表示在系统的j点作用单位力时，在系统的i点产生的位移。,由互等定理可知,柔度：指单位外力所引起的系统位移,通过柔度矩阵建立的振动微分方程为：,解：,3.3两自由度系统的振动,两个自由度系统是多自由度系统中最简单的情况，如果确定一个振动系统的独立参数只有两个，称这一系统为两个自由度系统。如,2.1无阻尼自由振动,选两物块静平衡位置为广义坐标和的起始位置,整理以后得：,写成矩阵形式：,设其解为：,1.各个质点按同一频率振动；2.振动的形式保持不变。,二阶齐次常微分方程组,代入上式：,设,则有,称为特征方程或频率方程,即,得.从小到大依次为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频率，第一阶的称为基频。,振型的求解：将代入到频率方程中是求不出、但可求得振幅比。,写成矩阵形式：,其通解为,简写,称为系统的第一阶和第二阶主振型，主振型也称为主模态。,例一.已知：两层框架结构楼房，k1、k2分别为层间侧向位移刚度，求振型和频率。,解：建立两自由度系统的振动微分方程,代入数值：,频率方程：,得,求振型1：,振型2：,一阶振型二阶振型,例二.求图示体系的频率、振型,解,令,第一振型,第二振型,对称体系的振型分成两组:,一组为对称振型,一组为反对称振型,第一振型,第二振型,作业,p174：3-1；3-6；3-15,
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