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一、二重积分,二、三重积分,三、曲线积分,多元函数积分学,四、曲面积分,一、二重积分的概念和性质,1定义：,2几何意义：,表示曲顶柱体的体积,性质：,线性性质；,可加性；,单调性；,若,估值性质：,中值定理：,则至少存在一点,使得,设函数在闭区域上连续,则,积分中值定理,二、二重积分的计算方法,1利用直角坐标计算,（1）X-型区域：,.,(2)过任一xa,b,作垂直于x轴的直线,穿过D的内部,从D的下边界曲线,穿入,内层积分的下限,从D的上边界曲线,穿出,内层积分的上限,(1)确定积分区域D在x轴上的投影a,b,定限步骤：,（2）Y-型区域：,2利用极坐标计算,(2),从D的边界曲线,穿入,从,穿出,(1)确定D夹在哪两条射线之间，定出,定限步骤：,过极点作一极角为,的射线,常见计算类型,1.选择积分顺序,原则：能积分，少分块,解,原式,解：,2.交换积分顺序,根据给出的积分上下限定出积分区域,3.利用对称性简化计算,要兼顾被积函数和积分区域两个方面，不可误用,（1）若D关于x轴对称，则,当f(x,y)关于y为奇函数，,当f(x,y)关于y为偶函数，,（2）若D关于y轴对称，则,当f(x,y)关于x为奇函数，,4.极坐标系下二重积分的定限,5.其它,三、三重积分的计算方法,1利用直角坐标计算,“坐标面投影”法,确定在xoy面上的投影区域D,(1),定限步骤：,作垂直于xoy面的直线，,从曲面,穿入，,从曲面,穿出，,(2),三、三重积分的计算方法（坐标面投影法）,1利用直角坐标计算,(1)投影,求积分域在xOy面上的投影区域Dxy;,(2)定限,z1,z2,(穿越法),步骤：,其中为三个坐标,例.计算三重积分,所围成的闭区域.,解:,面及平面,解:,1投影,2定限,y,2定限,2利用柱面坐标计算,计算方法：,三重积分的投影方法结合二重积分的极坐标运算,其中为由,例2.计算三重积分,所围,解:,及平面,柱面,成半圆柱体.,Dxy：,解：,1、体积,四、几何应用,若曲面方程为：,曲面S的面积为,2、曲面面积,解：,例.计算双曲抛物面,被柱面,解:曲面在xOy面上投影为,则,所截出的面积A.,注：常用二次曲面,旋转抛物面:,锥面:,球面,椭球面,椭圆抛物面:,柱面:,(方程中缺少某一变量),(1)对光滑曲线弧,第十一章曲线积分与曲面积分,一、对弧长的曲线积分,(化为定积分计算）,则,定限,1.基本计算方法,对有向光滑弧,二、对坐标的曲线积分,(化为定积分),对有向光滑弧,解,2.利用格林公式（必要时可作辅助线）,3.利用积分与路径无关（取折线）,例,解,L,L,例、,解,设,则,三、对面积的曲面积分,(化为二重积分）,四、对坐标的曲面积分,1、基本计算方法(化为二重积分)：,一代、二投、三定号,小结:,要点为：,将曲面的方程表示为二元显函数，代入被积函数，将其化成二元函数,将积分曲面投影到与面积元素（如dxdy）同名的坐标面上（如xoy面）,由曲面的侧确定二重积分的正负号,一代、二投、三定号,曲面取上侧、前侧、右侧时为正,注:积分曲面的方程必须表示为单值显函数否则分片计算，再讲结果相加,曲面取下侧、后侧、左侧时为负,代:,投:,定号:,2.利用高斯公式（化为三重积分）,1、注意公式使用条件：,2、添加辅助面的技巧：,一般取平行坐标面的平面，且与原曲面共同构成边界曲面的外侧或内侧,解,
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