资源描述
第一章变分法的基本问题,泛函的概念,通常函数：从实数到实数的映射。,泛函：从路径（曲线）到实数的映射。,目标泛函的概念,连续时间路径上识别一条弧，需要三样信息：,无限小的一条弧,（1）开始时间,（2）开始状态,（3）弧的前进方向,存在某个函数F，将弧值赋予弧，即从无限小的弧(曲线)到弧值(实数)的影射，表示为：,目标泛函就是弧值之和：,例：垄断企业的利润函数,垄断企业的动态需求函数：,垄断企业的总收益函数：,垄断企业的总成本函数：,垄断企业的总利润函数：,加总T期的总利润函数，得到目标泛函：,如果收益函数或成本函数随时间变化，目标泛函：,第一节欧拉方程,变分法的基本问题,最大化或最小化,一、欧拉方程的推导,固定初始点和固定终结点，函数V表示为：,变为：,一、欧拉方程的推导,（2.14）,步骤1首先用来表示V，并求导：,我们得到极值曲线的必要条件的更具体的形式：,莱布尼兹法则：,对于函数,步骤2,和,把这些表达式代入（2.15），其中a=0，b=T。我们得到：,以上推导得到：,步骤3由于是任意的，因此可以得到：,对于所有,或,对于所有,（2.17),以上推导得到：,对推导得到的进行整理：,步骤4因为F是一个具有三个自变量的函数所以偏导数也是具有三个同样自变量的函数。,把它代入(2.18)式，即，得：,以上推导得到欧拉方程：,具有边界条件：,例1求下列泛函的极值曲线。,根据欧拉方程，可得：,根据直接积分，得,因此，极值曲线为：,具有边界条件：,例2求下列泛函的极值曲线。,根据欧拉方程，可得：,根据直接积分，得,根据水平终结线的横截条件：,代入水平终结线横截条件。,和,（在t=T处）,一、多个状态变量的情况,第二节欧拉方程的推广,个变量的欧拉方程组为：,对于所有,这几个方程与边界条件一起,可以确定解,二、高阶导数的情况,那么高阶导数泛函可以转化为多个状态变量的泛函:,可以转化为含有个状态变量及其一阶导数的一个等价函数：,一、社会损失函数,第三节通货膨胀和失业之间的折衷,与的关系用附加预期的菲利普斯曲线来表示：,预期通胀率的形成被假定为自适应的：,其中，表示预期通货膨胀率。,其中，为实际收入，为理想实际收入，为实际通货膨胀率。,社会损失函数为：,由（2.40)式和(2.41)式，得：,重新整理，得：,（2.42)式代入(2.40)式，得：,（2.42)和(2.43)式代入(2.39)式，得社会损失函数：,二、问题,三、解路径,满足,二阶导数：,和,被积函数为：,F的一阶导数：,公式（2.19）给出了具体的必要条件：,其中,由于这个方程是齐次的，它的特解是0，它的通解是它的余函数：,通解,其中,并且可知，,和,设和，并利用边界条件得：,解这两个方程，得：,欧拉方程,
展开阅读全文