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1.4计数应用题,第1章计数原理,学习目标1.进一步理解和掌握两个计数原理.2.进一步深化理解排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题.,题型探究,内容索引,当堂训练,题型探究,命题角度1“类中有步”的计数问题例1电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_种不同的结果.,类型一两个计数原理的应用,答案,解析,28800,解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30292017400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20193011400(种)结果.因此共有174001140028800(种)不同结果.,用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：,反思与感悟,具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示.所以，完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“”号连接，“步”用“”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可.,解析如图所示，将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况.故不同的着色方法种数为432432148.,跟踪训练1现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有_种.,答案,解析,48,命题角度2“步中有类”的计数问题例2有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有_种.(用数字作答),答案,解析,264,解析上午总测试方法有432124(种).我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目.若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B、C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一，则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有339(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步计数原理，总的测试方法共有2411264(种).,用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：,反思与感悟,从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为AD.完成AD这件事，需要经历三步，即AB，BC，CD.其中BC这步又分为三类，这就是步中有类.其中mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数.完成AD这件事的方法数为m1(m2m3m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法.,跟踪训练2如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有_种.,答案,解析,21,解析根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，如图所示，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有224(种)情况，其中全部断开的有1(种)情况，则其至少有1个接通的有413(种)情况，对于开关3、4、5，共有2228(种)情况，其中全部断开的有1(种)情况，则其至少有1个接通的有817(种)情况，则电路接通的情况有3721(种).,例33个女生和5个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？,解(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又有种不同的排法，因此共有4320(种)不同的排法.,类型二有限制条件的排列问题,解答,(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？,解(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有种方法，因此共有14400(种)不同的排法.,解答,(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？,解答,解方法一(特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有14400(种)不同的排法.,方法二(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有14400(种)不同的排法.,方法三(特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有种不同的排法，所以共有14400(种)不同的排法.,(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？,解方法一因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，这时末位就只能排男生，这样可有种不同的排法.因此共有36000(种)不同的排法.方法二3个女生和5个男生排成一排有种排法，从中扣去两端都是女生的排法有种，就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有36000(种)不同的排法.,解答,(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？,解(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，,解答,(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽).(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中.,反思与感悟,跟踪训练3用0到9这10个数字，(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？,解答,解0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类：第1类：三位数字全相同，如111,222，999，共9个；第2类：三位数字全不同，共有998648(个)，第3类：由间接法可求出，只含有2个相同数字的三位数，共有9009648243(个).,(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？,解答,命题角度1不同元素的排列、组合问题例4有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？,类型三排列与组合的综合应用,解答,解分三类：,(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题.对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法.,反思与感悟,跟踪训练4从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？,解答,解(1)五位数中不含数字0.,(2)五位数中含有数字0.,第2步，排顺序又可分为两小类：,所以符合条件的偶数个数为,命题角度2含有相同元素的排列、组合问题例5将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，则共有_种不同的分配方案.,解析先拿3个优秀名额分配给二班1个，三班2个，这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个.利用“隔板法”可知，共有15(种)不同的分配方案.,答案,解析,15,凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用“隔板法”求解：(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有N种，即将n个元素中间的n1个空格中加入m1个“隔板”.(2)任意分组，可出现某些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有N种，即将n个相同元素与m1个相同“隔板”进行排序，在nm1个位置中选m1个安排“隔板”.,反思与感悟,跟踪训练5用2,3,4,5,6,7六个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_.,解析用间接法：六个数字能构成的三位数共666216(个)，而无重复数字的三位数共有654120(个).故所求的三位数的个数为21612096.,答案,解析,96,当堂训练,1.李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有_种不同的选择方式.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析由题意可得，李芳不同的选择方式为43214.,14,2.包括甲、乙在内的7个人站成一排，其中甲在乙的左侧(可以不相邻)，有_种站法.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析因为甲、乙定序了，所以有2520(种).,2520,3.从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是_.,答案,2,3,4,5,1,解析,48,解析第一类：从2,4中任取一个数，有种取法，同时从1,3,5中取两个数字，有种取法，再把三个数全排列，有种排法.故有36(种)取法.第二类：从0,2,4中取出0，有种取法，从1,3,5三个数字中取出两个数字，有种取法，然后把两个非0的数字中的一个先安排在首位，有种排法，剩下的两个数字全排列，有种排法，共有12(种)方法.共有361248(种)排法.,2,3,4,5,1,4.某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有_种.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析先安排后2个，再安排前3个，由分步计数原理知，共有36(种)不同的播放方式.,36,2,3,4,5,1,5.已知xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，则满足x1x2x3x4x5x62的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为_.,答案,解析,解析根据题意，x1x2x3x4x5x62，xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，xi中有2个1和4个0，或3个1、1个1和2个0，或4个1和2个1，共有90(个)，满足x1x2x3x4x5x62的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为90.,90,规律与方法,1.解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理.2.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.3.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.,本课结束,
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