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第二节,数量积与向量积,实例,一、两向量的数量积,启示,两向量作这样的运算,结果是一个数量.,定义,数量积也称为“点积”、“内积”.,两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,结论,由数量积的定义可推出：,证,证,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）结合律,若为数：,若、为数：,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,解,例1已知,求（1）,（2）,与,的夹角；,在,上的投影.,（3）,证,与向量,例2证明向量,垂直.,实例,二、两向量的向量积,所决定的平面,指向符合右手系.,它的模,的方向既垂直于,，又垂直于,定义,向量积也称为“叉积”、“外积”.,指向符合右手系.,几何意义：,方向：,记为,的平行四边形的面积.,证,由向量积的定义可推出：,/,向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）分配律：,（3）结合律,若为数：,不符合交换律,设,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,由上式可推出,例如，,两向量平行的充要条件：,不能同时为零，但允许两个为零，,解,例3,解,三角形ABC的面积为,例4,解,例5,定义,设,混合积的坐标表达式,*三、向量的混合积,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,小结,设,一、向量运算,1.加减:,2.数乘:,3.点积:,4.叉积:,二、向量关系:,1.二向量平行,2.二向量垂直,思考题,思考题解答,作业,P.309习题7-2,1;3;4;6;7;10.,
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