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,2,1,章末小结,知识网络,专题解读,【例1】如右图，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，且DEBF，过E、F两点作直线，分别与CD、AB的延长线相交于点M、N，连接CE、AF.求证：(1)四边形AFCE是平行四边形；(2)MECNFA.,【解析】(1)由平行四边形的性质可证得AECF且AECF，可证得结论；(2)由(1)结合平行四边形的性质可得到ECAF，ECFEAF，可证MCENAF，则可证明MECNFA.,【答案】证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，ADBC且ADBC，又DEBF，AECF，四边形AFCE是平行四边形；(2)四边形ABCD是平行四边形，MCBNAD，且CDAB，MN，四边形AFCE是平行四边形，ECAF，ECFEAF，MCENAF，MECNFA.【点拔】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的对边平行且相等、对角相等和对角线互相平分是解题的关键,专题解读,【答案】证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，ADBC且ADBC，又DEBF，AECF，四边形AFCE是平行四边形；,(2)四边形ABCD是平行四边形，MCBNAD，且CDAB，MN，四边形AFCE是平行四边形，ECAF，ECFEAF，MCENAF，MECNFA.,专题解读,【点拔】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的对边平行且相等、对角相等和对角线互相平分是解题的关键,专题解读,专题训练一1.如下图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：AECF；DEBF；ADECBF；ABECDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有()A0个B1个C2个D3个,B,专题解读,2.如上图，已知：在ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BGDH，则下列结论中不正确的是()AGFFHBGFEHCEF与AC互相平分DEGFH,A,专题解读,(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD.E、F分别是AB、CD的中点，BEDF，BEDF，四边形EBFD为平行四边形；,3.如下图，在ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点(1)求证：四边形EBFD为平行四边形；(2)对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：ABNCDM.,专题解读,(2)四边形EBFD为平行四边形，DEBF，CDMCFN.四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD.BACDCA，ABNCFN，ABNCDM，ABNCDM.,3.如下图，在ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点(1)求证：四边形EBFD为平行四边形；(2)对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：ABNCDM.,专题解读,专题二：矩形的判定与性质,【例2】如下图：在ABC中，CE、CF分别平分ACB与它的邻补角ACD，AECE于E，AFCF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N.求证：(1)四边形AECF为矩形；(2)MNBC.,【解析】(1)由AECE于E，AFCF于F可得AECAFC90，再由，CE、CF分别平分ACB与它的邻补角ACD，能证出ECF90，从而得证.(2)由矩形的性质可证NENC，从而得CENECNBCE，问题得证,专题解读,(2)四边形AECF为矩形，NENC，NECACEBCE，MNBC.,【答案】证明：(1)AECE于E，AFCF于F，AECAFC90，又CE、CF分别平分ACB与它的邻补角ACD，ACEACB，ACFACD，ECFACEACF(ACBACD)90四边形AECF是矩形,专题解读,【点拔】此题考查的知识点是矩形的判定和性质，关键是由已知推出四边形AECF的三个角为直角；由矩形的性质可证NENC，从而可代换出内错角相等，两直线平行,专题解读,专题训练二,4.如下图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BEAC交DC的延长线于点E，BDBE.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AOB60，AB4，求矩形ABCD的面积,(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD.又BEAC，四边形ABEC是平行四边形，ACBE.又BDBE，ACBD，平行四边形ABCD是矩形；,专题解读,4.如下图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BEAC交DC的延长线于点E，BDBE.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AOB60，AB4，求矩形ABCD的面积,(2)在矩形ABCD中，AOB60，OAOB，AOB是等边三角形，AOAB4，AC8，在RtABC中，BC4，矩形ABCD的面积为16.,专题解读,专题三：菱形的判定与性质,【例3】已知四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点P，若在矩形的上方加一个DEA，且使DEAC，AEBD.(1)求证：四边形DEAP是菱形；(2)若AECD，求DPC的度数,【解析】(1)由条件可证得四边形DEAP为平行四边形，结合矩形的性质得PAPD，可证得结论；(2)由(1)的结论结合条件可证得PDC为等边三角形，可求得DPC的度数,专题解读,【答案】(1)证明：DEAC，AEBD，四边形DEAP为平行四边形，ABCD为矩形，APPD，四边形DEAP为菱形；,(2)解：四边形DEAP为菱形，AEPD，AECD，PDCD，PDCP，PDC为等边三角形，DPC60.【点拔】本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键,专题解读,专题训练三5.如下图，四边形ABCD中，ADBC，BAAD，BCDC，BECD于点E.(1)求证：ABDEBD；(2)过点E作EFDA，交BD于点F，连接AF.求证：四边形AFED是菱形,(2)由(1)得，ADED，ADBEDB.EFDA，ADBDFE.EDBDFE.EFED.EFAD.四边形AFED是平行四边形又ADED，四边形AFED是菱形,专题解读,(1)ADBC，ADBDBC.BCDC，EDBDBC.ADBEDB.BAAD，BECD，BADBED90又BDBD，ABDEBD.,(2)由(1)得，ADED，ADBEDB.EFDA，ADBDFE.EDBDFE.EFED.EFAD.四边形AFED是平行四边形又ADED，四边形AFED是菱形,专题解读,专题四：正方形的判定与性质,【例4】如右图，正方形ABCD中，E是AD边上一点，且BECE，BE与对角线AC交于点F，连接DF，交EC于点G.(1)求证：ABFADF；(2)求证：DFEC.,【解析】(1)根据正方形的性质证DAFBAF；(2)先根据HL定理可证DAFBAF，从而得AEBDEC，再根据(1)的结论可求出ADFDEC90，可得结论,专题解读,(2)RtABE和RtCDE中，BECE，ABCD，RtABERtCDE，AEBDEC，由(1)得ABEADF，ABEAEB90，ADFDEC90，DGE90，DFEC.,【答案】证明：(1)四边形ABCD为正方形，BACDAC，ABAD，又AFAF，DAFBAF，ADFABF；,专题解读,【点拔】本题考查的是正方形的性质及全等三角形的判定定理及性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用,专题解读,专题训练四6.如下图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且AEF90，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG.(1)证明：BAEFEC；(2)证明：AGEECF.,(1)证明：四边形ABCD是正方形，B90，BAEAEB90，AEF90，AEBFEC1809090，BAEFEC；,专题解读,(2)证明：AGEECF.,(2)四边形ABCD是正方形，B90，ABBC，G为AB中点，E为BC中点，AGEC，BGBE，BGEBEG45，AGE135，四边形ABCD是正方形，DCBDCM90，CF平分DCM，DCF45，FCE135AGE，BAEFEC，GAECEF，AGEECF.,专题解读,专题五：三角形的中位线定理,【例5】如右图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，连接EFGH，四边形EFGH是什么四边形？说明理由,【解析】根据矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，利用三角形中位线定理求证EFGHFGEH，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形即可判定,专题解读,【答案】解：四边形EFGH是菱形理由：连接BD，AC.E、F分别是AD、AB的中点，EF为ABD的中位线，EFBD，同理：FGAC，GHBD，EHAC，又四边形ABCD是矩形，ACBD，EFFGGHEH，四边形EFGH是菱形【点拔】证明此题的关键是利用三角形中位线定理找出EFBD，FGAC，GHBD，EHAC.,专题解读,7.如下图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EFGH；试判断四边形EFGH的形状，并说明理由,专题解读,四边形EFGH是平行四边形，理由如下：连接ACE、F分别是AB、BC的中点，EF是ABC的中位线，EFAC，EFAC同理可证GHAC，GHACEFGH，EFGH四边形EFGH是平行四边形,专题解读,专题训练五8.如下图，DE是ABC的中位线，延长DE到F，使EFDE，连接BF(1)求证：BFDC；(2)求证：四边形ABFD是平行四边形,证明：(1)连接DB，CF，DE是ABC的中位线，CEBE，EFED，四边形CDBF是平行四边形，CDBF；,专题解读,8.如下图，DE是ABC的中位线，延长DE到F，使EFDE，连接BF(1)求证：BFDC；(2)求证：四边形ABFD是平行四边形,(2)四边形CDBF是平行四边形，CDFB，ADBF，DE是ABC的中位线，DEAB，DFAB，四边形ABFD是平行四边形,专题解读,9.已知:如下图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.(1)求证：ABMDCM；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；,专题解读,(2)四边形MENF是菱形证明如下：E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，NEMF，NEMF.四边形MENF是平行四边形由(1)，得BMCM，MEMF.四边形MENF是菱形,(1)四边形ABCD是矩形，ABCD，AD90，又M是AD的中点，AMDM.ABMDCM.,感谢聆听,
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