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第一章三角函数,11任意角和弧度制11.1任意角,在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险你能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？,1角的概念(1)角可以看成是_绕着它的_从一个位置_到另一个位置所成的图形,一条射线,端点,旋转,(2)角的表示顶点:用_表示；始边:用_表示,用语言可表示为_；终边:用_表示,用语言可表示为_.,O,OA,OB,始边OA,终边OB,2角的分类(1)旋转生成的角,又常叫做转角按旋转方向可将角分为如下三类:,逆时针,顺时针,(2)象限角如果角的_与原点重合,角的_与x轴非负半轴重合,这时,角的_在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角,终边落在坐标轴上的角称为轴线角3终边相同的角设表示任意角,所有与角终边相同的角,包括本身构成一个集合,这个集合可记为_,顶点,始边,终边,|k360,kZ,1下列各角中与330角的终边相同的是()A510B150C150D390解析:与330角终边相同的角可表示为330k360,kZ.由于390330(2)360,因此390与330终边相同,故选D.答案:D,2给出下列四个命题:75是第四象限角225是第三象限角475是第二象限角315是第一象限角其中正确的命题有()A1个B2个C3个D4个解析:由象限角的定义知正确,475360115,31536045,也正确答案:D,3与496终边相同的角是_；它们是第_象限的角；它们中最小正角是_；最大负角是_解析:与496终边相同的角是k360136,kZ,是第三象限角,最小正角是224,最大负角是136.答案:k360136,kZ三224136,4已知角的终边与角60的终边重合,写出满足条件的角的集合S,并求出这个集合中在360360之间的角解析:与60角的终边重合的角的集合为S|60k360,kZ,当k0时,60；当k1时,60360300.所以集合S在360360之间的角为60,300.,由题目可获取以下主要信息：象限角的概念；钝角、直角、锐角的概念.解答本题可根据任意角、象限角的概念进行判断.,解题过程,答案:,题后感悟解决与角有关的集合问题关键是要弄清集合包含哪些元素,其常用方法有:(1)将集合中表示角的式子化为同一种形式；(2)用列举法把集合具体化；(3)数形结合,即在直角坐标平面内分别表示出集合的区域.,解析:,题后感悟(1)把任意角化为ak360(kZ且0360)的形式,关键是确定k.可以用观察法(的绝对值较小)也可用竖式除法,要注意:正角除以360,按通常的除法进行；负角除以360,商是负数,其绝对值比被除数为其相反数时的商大1,使余数为正值(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值,策略点睛,由题目可获取以下主要信息：(1)中阴影部分不包括x轴非负半轴；(2)中阴影部分包括x轴非负半轴；(3)中阴影部分是两条直线形成的对顶角区域.,解答本题先根据阴影部分写出一个周期内符合要求的角的范围，再由终边相同的角的集合形式得出结果.,解题过程(1)阴影区域的边界对应的角分别为30,18075105,故在0360范围内终边落在阴影区域的角的集合为|30105,因此图中阴影部分的角的集合为|k36030k360105,kZ(2)以OB为终边的角是330,可看成30,以OA,OB为终边的角的集合分别是:S1x|x75k360,kZ,S2x|x30k360,kZ,终边落在阴影部分的角的集合为|k36030k36075,kZ,(3)与30角的终边在一条直线的角的集合为S1|30k180,kZ,与18075105角的终边在一条直线的角的集合为S2|105k180,kZ,因此,在图中阴影部分的角的范围为|30k180105k180,kZ,题后感悟探求角的范围的问题,可以先确定终边为“边界”的角的集合,最后再合成,要注意虚线和实线的差别,解析:(1)与45终边相同的角可写成45k360,kZ,与60终边相同的角可写成300k360,kZ,所以图(1)中阴影部分的角的范围可表示为|45k360300k360(kZ)(2)因与45角终边相同的角可写成45k360,kZ的形式,与18030150角终边相同的角可写成150k360,kZ的形式所以题图(1)中阴影部分的角的范围可表示为|150k36045k360,kZ,(3)由题图(3)可知,所求的角的集合为|45k36090k360,kZ|225k360270k360,kZ|452k180902k180,kZ|45(2k1)18090(2k1)180,kZ|45n18090n180,nZ,1正确区分几个容易混淆的角“0到90的角”:是指一个大于等于0且小于90的角；“第一象限角”:表示为|k36090k360,kZ；“锐角”:表示为|090；小于90的角:表示为|90,它包括一切负角,2准确认识终边相同的角所有与角终边相同的角,连同角在内(而且只有这样的角)可以用式子k360,kZ表示在运用时,需注意以下几点:(1)k是整数,这个条件不能漏掉(2)是任意角(3)k360与之间用“”号连接,如k36030应看成k360(30)(kZ)(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍,3象限角和轴线角的大小(1)象限角的表示,(2)轴线角的表示终边在x轴上的角的集合为|k180,kZ；终边在y轴上的角的集合为|k18090,kZ,判断580角是第几象限角【错解】580318040,而40角是第四象限角,580角是第四象限角,【错因】错解的原因是:318040不是k360(kZ,0360)的形式,所以580角与40角的终边不相同【正解】5802360140,而140角是第二象限角,580角是第二象限角.,练规范、练技能、练速度,
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