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1,一、形如的积分,二、形如的积分,三、形如的积分,第三节留数在定积分计算上的应用,2,在实际问题中，往往会遇到求实积分的值，而这些积分中被积函数的原函数，不能用初等函数来表示，有时即使可以求出原函数，计算也较为复杂但是，如果把它们化为复变函数的积分，运用留数定理计算却可能简捷得多.,3,一、形如的积分,思想方法:,封闭路线的积分.,两个重要工作:,1)积分区域的转化,2)被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,4,形如,5,z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.,包围在单位圆周内的诸孤立奇点.,总结：,6,例1计算积分,解,被积函数在复平面上有两个奇点：,，,，其中只有二级极点,在圆周,的内部,得,利用留数定理，,7,例2计算,解,令,8,极点为:,(在单位圆内),(在单位圆外),9,若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且在实轴上无孤立奇点.,一般设,分析,可先讨论,最后令,即可.,二、形如的积分,10,2.积分区域的转化:,取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间,一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有,限孤立奇点外处处解析.,(此法常称为“围道积分法”),1.被积函数的转化:,(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x),可取f(z)=R(z).,11,这里可补线,(以原点为中心,R为半径,的在上半平面的半圆周),内部(除去有限孤立奇点）处处解析.,取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点,都包在这积分路线内.,12,根据留数定理得:,当充分大时,总可使,13,14,总结：,若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且在实轴上无孤立奇点.,一般设,15,例3计算积分,，,解函数,在上半平面内只有两个,一级极点,.,=,=,.,16,例4计算积分,解,17,18,练习：,19,积分存在要求:R(x)是x的有理函数而分母的次,数至少比分子的次数高一次,并且R(z)在实轴上,无孤立奇点.,与,曲线C,使R(z)所有的在上半平面内的极点,包在这积分路线内.,同前一型:补线,一起构成封闭,都,三、形如的积分,20,对于充分大的,且时,有,21,从而,22,由留数定理:,23,次数高一次,并且R(z)在实轴上无孤立奇点.,R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的,总结：,24,例5计算积分,解因为,=,在上半平面只有两个一级极点,25,例6计算积分,，其中,为常数,解,在上半平面只有一个一级极点,所以，,26,练习：计算积分,解,在上半平面只有二级极点,又,27,28,作业：习题四(A)4：1),3），6）。,
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