E0716334等积变形中的面积重叠问题.ppt

等积变形中的面积重叠问题,首都师范大学数学科学学院(100048)周春荔,在图形问题中,已知图形面积经常出现重叠部分,巧妙地运用面积重叠部分,对我们解题是有益的，并往往产生妙趣横生、引人入胜的效果。,（I）两个面积相等的图形叠放在一起，则这两个图形在重叠之外的部分的面积相等。（I）的图示,覆盖中有重叠，数量关系有趣,（II）设k个小图形面积之和为S，将这k个小图形放入一个面积恰为S的大图形内（这k个小图形没有同时3个重叠的部分），则在面积为S的大图形内未被盖住部分面积之和，等于k个小图形重叠部分的面积。,（II）的图示,例1.ABC的面积为1,中线BM,CN相交于G.求BGC的面积.,注意看图！,陈省身爷爷说：数学好玩！,解:ABM与CAN的面积都等于0.5.其面积和等于ABC的面积1.因此，没盖住的BCG的面积就等于重叠部分ANGM的面积.连接AG，设AGN面积为x,AGM面积为y.则于是得x+y=1/3。即ANGM的面积等于1/3，也就是BGC的面积等于1/3.,仰望天空，脚踏实地。,例2.如图梯形ABCD中，AB/DC.绿色三角形的面积是14平方厘米，红色部分的面积是29.5平方厘米。问：黄色三角形的面积是多少平方厘米？答：黄色三角形的面积是15.5平方厘米。,看图：,答：涂红色两块图形的面积大。,例3.右图所示为一个长方形.AE:ED=9:5,BF:FC=7:4.问：涂红色的两块图形的面积与涂蓝色的两块图形的面积相比较，哪个大?请说明理由.,美丽花瓣中的数学问题,例4.右图是一个对称的图形（由分别与一个大圆相切的四个共点的小的等圆组成），问黑色部分面积大还是阴影部分面积大？,答：一样大。,理由：因为是对称图形，四个小圆半径相等，且恰好是大圆半径的一半。这样，每个小圆面积等于大圆面积的1/4，四个小圆面积之和正好等于大圆面积。阴影部分是四个小圆相重迭的部分，而黑色部份则是由于重迭而空余出来的部分，所以这两部份面积相等。,数学思维是美妙的,右图是一个园林的规划图，其中，正方形的3/4是草地；圆的6/7是竹林；竹林比草地多占地450平方米.问：水池占地多少平方米?,答：水池占地150平方米。,解：把水池的面积作为1个单位，那么草地的面积便是3个单位，而竹林面积是6个单位。（这是由于把正方形面积分作4等分时，草地占3份而水池占l份；同理，把圆面积分成7等份时，竹林占6份而水池占1份）。从而竹林比草地多出的面积，是633个单位。3个单位的面积是450平方米，可见1个单位的面积是4503150平方米，这就回答了题中所问的问题。,六角形的花瓣，美妙的思维，简洁的答案,例6如图所示,在面积为S平方厘米的圆O中,有一个内接的正六边形ABCDEF,其面积为S0。阴影部分是以该正六边形的3个顶点B、D、F为圆心，正六边形边长为半径的圆弧围成，求阴影部分的面积等于多少平方厘米?,想一想，你观察到其中的奥妙了吗？,提示：分别以B、D、F为圆心，正六边形边长为半径的圆扇形，其面积都是圆O面积的1/3。三个扇形总面积等于圆O的面积S，并且重叠覆盖在圆O内部。阴影花瓣为重叠部分，面积为S0的六边形外的六个弓形是未被盖住的部分。根据面积重叠原理，阴影花瓣部分的面积等于S-S0平方厘米。,想一想，试变条件作推广。,思考：如图所示,在面积为S平方厘米的圆O中,有一个内接的正六边形ABCDEF,其面积为S0。阴影部分是以该正六边形的6个顶点为圆心，正六边形边长为半径的圆弧围成，求阴影部分的面积等于多少平方厘米?（答:等于2S-2S0平方厘米）。,例7点E和F分别是正方形ABCD的边BC和CD的中点。线段AE和BF交于点K。问三角形AKF与四边形KECF的面积哪个大？答：三角形AKF的面积大。,提示：PBM、QMN、RNC面积之和与长方形EBCF的面积相等，都等于60平方厘米。所以没重叠的部分面积相等。易知等于15平方厘米。,例8.长方形ABCD的面积为120平方厘米.EF是一组对边AB、CD的中点连线.M、N是BC边上两点，P、Q、R为AD边上的点。试求图中4块阴影面积的总和是多少平方厘米？,例9如图所示长方形ABCD的面积为120平方厘米.四边形OEFG的面积是9平方厘米。试求图中3块阴影图形的总面积。,提示：AFC、DBF面积之和为60平方厘米.中间有重叠部分四边形OEFG的面积是9平方厘米。所以图中非阴影部分面积为60-9=51平方厘米。因此图中3块阴影图形的总面积为69平方厘米。,数学是锻炼思维的健美操,例10.如图，圆O中直径AB与CD互相垂直.AB=10厘米。以C为圆心，CA为半径画得.则月牙形（阴影部分）的面积是平方厘米.,答：月牙形的面积是25平方厘米.,理由：半圆的面积=平方厘米。ABC的面积=25平方厘米.所以AC2=50.扇形的面积=半圆ABD的面积。根据面积重叠原理（I）可知：月牙形（阴影部分）的面积=ABC的面积=25平方厘米.,数学是理性思维的演练场,例11.如图正方形面积为16平方厘米.A点在矩形DEGF的边EF上,G点在BC上.若FG与AB交于点P,求PAF与PBG面积之差是多少平方厘米?,答：PAF与PBG面积之差是2.16平方厘米,提示:连接AG.易知正方形ABCD边长为4厘米.ADG面积为8平方厘米.也就是矩形DEGF的面积为16平方厘米.所以厘米.可以求得AE=2.4厘米,CG=3厘米.由重叠原理,知S+S=S+S.所以S-S=S-S.而S=6平方厘米,S=3.84平方厘米.所以S-S=S-S=6-3.84=2.16平方厘米.,例12如右图所示,是一个正方形，几块阴影部分的面积如图所示，则四边形的面积为_。,答.24.解：假设是“房间”，是“地毯”.因为AND面积=CDM面积=0.5ABCD的面积，如果这两个地毯不重叠，它们完全可以覆盖房间.因此，重叠部分的面积即等于未被覆盖表面的面积，即DPQR面积=APM面积+？面积+CRN面积，所以，“？面积”=51-15-12=24.,数学是个好东西，社会主义需要数学,例13.在面积是1的正方形ABCD中,如图,E为BC上一点,BE=2CE,F为CD上一点,CF=2DF，连接AE，AF分别交BD于M，N.试求两个阴影三角形面积的和.,解：易知，ABE的面积=，ADF的面积=.ABD的面积=.显然，ABE的面积与ADF的面积之和等于ABD的面积，由覆盖重叠原理可知，两个阴影部分三角形面积的和，等于AMN的面积.因此，要求两个阴影三角形面积的和，只需求出AMN的面积即可.而要求AMN的面积，只需计算出MN：BD就可以了.为此，连接BF，DE.ABF的面积与ADE的面积都等于.由于，所以，所以。因此所以也就是，题图中两个阴影三角形面积的和=,数学是打开科学大门的钥匙,例14.如图，半径为5厘米的大圆内有半径为3厘米和4厘米的两个小圆.两个小圆与大圆都只有一个公共点，分别是P和Q.如果两个小圆相交部分的面积为15平方厘米，阴影（甲）的面积为7平方厘米，则阴影（乙）的面积为多少平方厘米.,答：阴影（乙）的面积为8平方厘米.,解：大圆面积是平方厘米，两个小圆面积和为，即大圆面积等于内部的两个小圆面积之和，所以，两个小圆相交重叠部分的面积（15）等于阴影（甲）、（乙）面积之和，由于阴影（甲）的面积为7平方厘米，因此阴影（乙）的面积为15-7=8平方厘米.,例15.P是长方形ABCD内一点，三角形PAB的面积等于5，三角形PBC的面积等于13.问三角形PBD的面积是多少？,看一看，想一想，思维长翅膀,例16.如图，已知凸四边形ABCD中，边AB和CD的中点为M和N，BC与AD的中点为P和Q，AN、CM、BQ、DP的交成四边形WXYZ.证明：四边形WXYZ的面积等于四个小三角形的面积之和.,证明，就是精准简练的实话实说,例17.如右图，已知凸四边形ABCD中，边AB和CD的中点为K和M，BM与CK的交点为P，AM与DK的交点为Q.证明三角形BPC与三角形AQD的面积之和等于四边形MQKP的面积.,请先积极、独立地思考,例18.ABCD为任意四边形，M,N分别为AD,BC中点，MB交AN于P;MC交DN于Q.若四边形ABCD的面积为150，四边形MPNQ的面积是50，求：四个三角形APM，DQM，BPN和CQN的面积和是多少?(第8届华杯赛总决赛一试试题),遇到困难可看下面的解答,图中辅助线是本题最简单的证法,例19.凸四边形ABCD的两组对边中点连线EF,GH相交于O.求证:两块红色四边形的总面积=四边形ABCD面积的一半。,如何证，自己想，试试你的分析能力,例20.凸四边形ABCD的两组对边中点连线EF,GH相交于O.连接AH，CG分别交EF与M，N.则（1）（2）,答：三角形PQR的面积是1/7。,例21.如图中，若，求的面积.,这样添线,答：三角形PQR的面积是81/560,例22.如图中，若，求的面积.,注意：分步解题，步步细心，最后综合，可得解答。,此题设计精巧，试试你的身手,例23.过ABC内部的一点O引平行于各边的线段AA1，BB1，CC1分ABC为四个三角形和三个四边形，如图所示.证明：分别以A，B，C为顶点的三个阴影三角形的面积之和等于第四个阴影三角形的面积.,独立解答此题，理应没有问题,例24.如图所示，平行四边形ABCD的面积为24平方厘米.ADM与BCN的面积之和为7.8平方厘米，求阴影四边形FMON的面积是多少平方厘米？(第13届华杯赛决赛试题),答：六边形A1B1C1D1E1F1的面积是670平方厘米,例25.一个六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米。已知ABC，BCD，CDE，DEF，EFA，FAB的面积都等于335平方厘米。又图中6个阴影三角形面积之和为670平方厘米。则六边形A1B1C1D1E1F1的面积是平方厘米。(第15届华杯赛决赛小学A卷试题13),答：,例26.右图中,ABC，BCD，CDE，DEF，EFA，FAB的面积之和等于六边形ABCDEF的面积.又图中的6个阴影三角形面积之和等于六边形ABCDEF的面积的.求六边形A1B1C1D1E1F1的面积与六边形ABCDEF的面积之比.(第15届华杯赛决赛小学A卷试题13),答：41cm2.,例27.梯形ABCD的面积是100cm2,AE=BF，CE与BF相交于O，若cm2,则cm2.（2009“数学解题能力展示”初一年级初试8题）,试试你的分析问题的能力,（第26届莫斯科数学竞赛试题，1963）,要仔细分析图形中的数量关系,历史名题，值得学习,例29如图所示，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在ABC外作半圆AEC和BFC.请你证明图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积等于直角ABC的面积。,希波克拉底的“月形”定理,图形的精巧，思维的简洁，构成数学的美,例30在长方形ABCD中，BF=AE=3厘米，DE=6厘米。三角形GEC的面积是20平方厘米，三角形GFD的面积是16平方厘米。那么，长方形ABCD的面积是多少平方厘米？（第九届华杯赛总决赛二试初一组第2题）,答：长方形ABCD的面积是54平方厘米,祝同学们暑假快乐，身体健康！,再见,