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2020年5月14日星期四,1,5.对坐标的曲面积分,(又称第二类曲面积分),一、对坐标的曲面积分的概念与性质,1.曲面的侧,设所讨论的曲面都是光滑的，双侧的。,如一张包围某一空间区域的闭曲面，就有外侧与内侧之分。,2020年5月14日星期四,2,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,2020年5月14日星期四,3,大家大概都知道莫比乌斯带。,你可以把一条纸带的一端扭180度，再和,单侧曲面例子(注:本课程不讨论此类曲面),另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。,这是一张只有一个侧面的曲面。,2020年5月14日星期四,4,用法向量的指向,方向余弦,0为前侧0为右侧0为上侧0时,说明流入的流体质量少于,当0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为,当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.,流出的,表明内有源;,表明,内有汇;,根据高斯公式,流量也可表为,(1),2020年5月14日星期四,41,方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且,为了揭示场内任意点M处的特性,在(1)式两边同除以的体积V,并令以,任意方式缩小至点M,则有,此式反应了流速场在点M的特点:,其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.,2020年5月14日星期四,42,定义:,设有向量场,其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片,则称,有向曲面,为向,在场中点M(x,y,z)处,2020年5月14日星期四,43,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,例如,匀速场,故它是无源场.,说明:,由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且,2020年5月14日星期四,44,散度运算的基本公式：,2020年5月14日星期四,45,例：,设为一光滑闭曲面，处的单,位外法线向量，,(1)不包含原点；,解：,由题意，,=,2020年5月14日星期四,46,(1)不包含原点。,则P,Q,R在上连续,所以I=0,(1)因为不包含原点，,2020年5月14日星期四,47,(2),解法1：,在上，r=a,包含原点,则不可直接用高斯公式。,(内无奇点),2020年5月14日星期四,48,解法2：,因为在球面上，点的向径与该点法向量,(x,y,z),方向一致，,又在上，r=a,2020年5月14日星期四,49,课外作业,习题126(A),1(1),2(1),3(1),习题126(B),1(2,4),2,2020年5月14日星期四,50,7、斯托克斯公式环流量与旋度,一、斯托克斯(Stokes)公式,斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线上的曲线积分联系了起来。,2020年5月14日星期四,51,定理：,设为分段光滑的空间有向闭曲线，,是以为边界的分片光滑有向曲面,的,正向与的侧符合右手法则,函数,区域内具有一阶连续偏导数，则有,斯托克斯公式,2020年5月14日星期四,52,右手法则,分片光滑有向曲面的边界曲线为,分段光滑的空间有向闭曲线.,2020年5月14日星期四,53,斯托克斯公式,又可写成：,其中,为有向曲面的单位法向量。,2020年5月14日星期四,54,利用行列式记号，又写成：,或,2020年5月14日星期四,55,如果是xoy平面上的一块平面闭区域，则斯托克斯公式就变成了格林公式。因此，格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。,2020年5月14日星期四,56,例1.求,是从A(a,0,0)经过B(0,a,0)和C(0,0,a)回到,A(a,0,0)的三角形。,0,x,y,z,A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a),解：,围成的平面,取上侧。,用Stokes公式。此时，,2020年5月14日星期四,57,2020年5月14日星期四,58,解,则单位法向量,91年北京市数学竞赛题,2020年5月14日星期四,59,则单位法向量,即,由斯托克斯公式,2020年5月14日星期四,60,即,由斯托克斯公式,2020年5月14日星期四,61,即,由斯托克斯公式,2020年5月14日星期四,62,例3.,其中,是圆周,若从z轴正向看去,这圆,周是取逆时针方向。,x,z,y,解：,.,2,2020年5月14日星期四,63,称为向量场,设有向曲面上点(x,y,z)处的单位法向量为,的正向边界曲线上点(x,y,z)处的单位切向量为,则,斯托克斯公式：,则向量,记作,2020年5月14日星期四,64,沿有向闭曲线的曲线积分,沿有向闭曲线的环流量。,所以斯托克斯公式可叙述为：,沿有向闭曲线的环流量等于,的旋度场通过曲线所张的曲面,的通量(的正向与的侧符合右手法则)。,2020年5月14日星期四,65,=,(哈密尔顿算子),散度,梯度,数量,旋度,2020年5月14日星期四,66,旋度运算的基本公式：,2020年5月14日星期四,67,课外作业,习题127(A),1(3),2(1),3(2),4,
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