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泰勒(16851731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有:,正和反的增量法(1715),线性透视论(1719),3.泰勒公式,泰勒公式的研究开始于在1715,年出版的正和反的增量法一书.,泰勒断言,函数在一个点的某个邻域中的值可以用函数在,该点的值以及函数在该点的各阶导数的值组成,的无穷级数表示出来,用现在的记号就是:,泰勒公式的研究开始于在1715年出版,的正和反的增量法一书.,泰勒断言,函数在一个点的某个邻域中的值可以用函数在,该点的值以及函数在该点的各阶导数的值组成,的无穷级数表示出来,用现在的记号就是:,拉格朗日利用他发明的微分中值定理建立,了泰勒公式的拉格朗日余项.,不论在近似计算或理论分析中，我们总希望能用一个简单的函数近似地表达一个比较复杂的函数。而在函数中又以多项式较为简单，若能用多项式来近似表达一个函数会给研究带来很大的方便。那么又怎样从函数本身找到我们所需要的多项式呢？,在微分应用中知，,此式左端是一函数，而右端是x的一次多项式。,即用一次多项式来近似代替函数。,但这种表达式的精度不高，它所产生的误,差仅是关于x-x0的高阶无穷小，且无法具体估,计出误差的大小。,为此，我们用满足一定要求的高次多项式,来近似表达函数，并给出误差的计算公式。,来近似表达f(x).,首先，可定出系数：,Taylor中值定理：,为此，我们有,展开到,拉格朗日型余项。,说明,余项Rn(x)又可写成：,这种形式的余项Rn(x)称为皮亚诺型余项。,称为麦克劳林公式。,麦克劳林(16981746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字,命名的麦克劳林级数。,例(1),观察这三条曲线在x=0附近的弥合程度：,误差不超过,则有,和,同理可求得：,我们已求得了一些函数的麦克劳林公式,还可以类似得到以下函数的麦克劳林公式：,利用已知的带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，可以计算一些极限：,求,原式,解:,解:,解:,例：,解：,00年考研题,例,证,由假设可知,且,所以,由上式可得,例,证:,利用一阶泰勒公式,得,故原不等式成立.,只要证,课外作业,习题3-3,1,4,8(2,3),4.函数的单调性与凸性的判别法,一.函数单调性的判别法,就有f(x1)f(x2),则f(x)单调减少。,现在用导数来研究函数的单调性。,0,x,y,0,x,y,(上升),(下降),从几何上看,y=f(x)在a,b上单增(或单减)，,其图形是一条沿x轴正向上升(或下降)的曲线。,上升的曲线每点处的切线斜率均为非负，,下降的曲线每点处的切线斜率均为非正，,a,b,a,b,定理：,函数单调性的判别法,证：,由L定理，,由x1,x2的任意性,f(x);,由x1,x2的任意性,f(x).,此判别法的结论可推广到其他各种区,说明,1.,2.,（这些点不组成一个区间）定理仍成立。,但曲线仍单增，在x=0处有一条水平切线。,间，包括无穷区间。,例1：,解：,所以y在其定义域内,解：,y,y,所以y在(-,0内,等号只在一点成立，,y在0,+)内,解：,y,y,所以y在(-,0内,y在0,+)内,若函数在定义区间上不是单调的，但在定义区间上连续，且除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续。那么只要用的点及不存在的点来划分定义区间，就能保证各个部分区间内保持同号，从而函数在各个部分区间上单调。,例2：,解：,y,0,+,0,1,(-1,1),-1,x,y,+,0,不存在,+,0,x,例3：,解：,例1：,证：,二.函数单调性的一些应用,1.证明不等式,例1：,例2：,证：,2.证明方程根的唯一性,例3：,有唯一的实根。,证：,先证明根的存在性：,由零点定理,f(x)=0在(-1,0)内至少有一根;,再证明根的唯一性：,则y=f(x)至多穿过x轴一次,即f(x)=0至多有一根,f(x)=0在(-1,0)内只有唯一实根。,课外作业,习题34(A),3(2,4),4(3,4),5,习题34(B),6,二、函数的凸性及其判别法,同样单增的函数，有时弯曲的方向不一样。,凹(向下凸),凸(向上凸),a,b,弦上弧下，则曲线为向下凸（凹）；,弦下弧上，则曲线为向上凸（凸）。,a,b,x1,x2,P,Q,(a),(b),取弦的中点Q,与曲线弧上的相应点P,x1,x2,P,Q,设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2,恒有,定义：,则称f(x)在I上的图形是凹的(凹弧)。如图(a),则称f(x)在I上的图形是凸的(凸弧)。如图(b),恒有,凹凸性判定定理（用一阶导数）,定理：,凹凸性判定定理（用二阶导数）,定理：,设函数f(x)在(a,b)内二阶可导。若在(a,b)内,则f(x)在(a,b)内是凹的；,则f(x)在(a,b)内是凸的。,说明,定理仍成立。,例：,f(x)在任意区间上的凹凸的定义,及判定定理与上类同。,判别下列函数的凹凸性：,1.,y处处凸.,2.,凸,凹,曲线是凹的；,曲线是凸的。,定义：,连续曲线上凹弧与凸弧的分界点,称为这曲线的拐点(或扭转点)。,说明,(1),拐点的可疑处：,(2),拐点在曲线上，而不在x轴上，,其坐标为(x0,y0)。,拐点的判别定理,定理1.,设具有二阶连续导数的曲线y=f(x),在x=x0处有,当xx0时，,当xx0时，,则(x0,f(x0)是y=f(x)的拐点。,则(x0,f(x0)不是y=f(x)的拐点。,定理2.,设y=f(x)在x0的某邻域内有三阶连续导数，,则(x0,f(x0)是y=f(x)的拐点。,例题,例1：,求下列函数的凹凸区间及拐点：,(1),(正态分布曲线),解：,x,y,0,0,+,+,(2),解：,x,y,4,不存在,+,2,拐点:(4,2).,例2：,解：,例3利用函数图象的凸性，证明不等式,证：,所以当t0时，f(t)的图象是凹的，,.,在区间上是凸弧;,拐点为,在区间上是凹弧;,则函数f(x)的图形,例4设函数,形如图所示,的图,课外作业,习题34(A),8(1,2,6),10,习题34(B),11,12,5.函数的极值与最大值最小值,一.函数的极值及其求法,函数单调区间的分界点x=-1,1.,对在x=-1附近的点x，,对在x=1附近的点x,有f(x)f(-1)=-2,有f(x)0?,0?,当x0,=0,得证。,例9：,求证：从点A(5,0)向抛物线,则AP是抛物线的法线。,上的点P(x,y)作最短线段AP，,证：,唯一驻点,此时抛物线上的点为,而抛物线在P点的切线斜率为,所以AP是抛物线的法线。,A(5,0),在半径为R的球内嵌入一圆柱体，当圆柱体的底圆半径为多少时，圆柱体的体积最大？,R,r,圆柱体体积:,例10：,设底半径为r,高为h.,目标函数,为(0,R)上唯一驻点，,注：,目标函数可否设成,解：,设底半径为r.,由实际背景可知，此问题中存在最大值，且在内取到，,清楚(视角最大)?,观察者的眼睛1.8m,例11.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于,解:,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,设观察者与墙的距离为xm,解:,96年北京市竞赛题,课外作业,习题35(A),1(5,10),2(3),10,14,习题35(B),2,5,6,16,
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