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第三节二项式定理,注意：(1)要分清展开式中某一项的系数和该项的二项式系数的区别：二项式系数是指展开式中(r0,1,2n)；项的系数是指展开式中对应项内某一字母而言的系数(2)二项展开式的通项是第r1项，而不是第r项,注意：当n为偶数时，二项式系数中，以最大；当n为奇数时，二项式系数中以(两者相等)最大,注意：二项式定理适用于解决以下问题：(1)近似计算问题；(2)整除性问题或余数问题；(3)求(证)有关组合数的恒等式；(4)证明有关不等式,答案：A,2要使有最大值，则m的值是()A14B13C13或14D15解析：由二项式系数的性质可知应选C.答案：C,答案：A,解析：AB(31)727128.答案：128,5已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，那么a1a2a3a7_.解析：令x1，则a0a1a2a71，又令x0，则得a01，所以a1a2a3a7112.答案：2,求二项展开式中的特定项例1已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列(1)求展开式里所有x的有理项；(2)求展开式里系数最大的项,求(1x)10的展开式中的常数项,求展开式的各项系数和例2(2009江西高考)(1axby)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()Aa2，b1，n5Ba2，b1，n6Ca1，b2，n6Da1，b2，n5分析根据展开式的特点，通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和，通过方程组解决,解析只要令x0，y1，即得到(1axby)n展开式中不含x的项的系数的和(1b)n，令x1，y0，即得到(1axby)n展开式中不含y的项的系数的和(1a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b有负值，相应地，分别令y1，x1等，此时的和式为(1b)n，(1a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1|b|)n，(1|a|)n.根据题意(1|b|)n24335，(1|a|n)3225，因此n5，|a|1，|b|2，故选D.答案D,拓展提升本题表面上看起来是一个三项式问题，而实质是以这个三项式为基础设计了两个二项式问题，这两个二项式是(1by)n，(1ax)n，题目设计的已知条件就是这两个展开式的各项系数的绝对值的和分别为243,32，最后落脚于方程思想解题本题容易出现找错各项系数绝对值的和的问题，对本题而言就是把符合要求的各项系数的绝对值的和求为(1a)n，(1b)n也不影响最后结果，但解答问题是不严谨的,若(1x)6(12x)5a0a1xa2x2a11x11，求：(1)a1a2a3a11；(2)a0a2a4a10.,解：(1)(1x)6(12x)5a0a1xa2x2a11x11.令x0，则a01.令x1，得a0a1a2a1126a1a2a3a1126165.(2)令x1得a0a1a2a3a110，得a0a2a1032.,分析(1)可利用“赋值法”求各项系数的和；(2)可利用展开式中的通项公式确定r的值；(3)可利用通项公式求出r的范围，再确定项,已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的.(1)求该展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项,二项式定理的其他应用例4(1)求证：122225n1能被31整除(nN*)；(2009江西高考)(2)若能被7整除，则x，n的值可能为(),Ax4，n3Bx4，n4Cx5，n4Dx6，n5分析(1)先求和，再将25n变为32n.(2)逆用二项式定理，结合选项进行分析解决,答案C,拓展提升本题主要考查二项式定理的应用，即整除问题，考查化简、变形及分析问题的能力(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理的变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可(2)求余数问题时，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)0)，商式q(x)与余式的关系及余式的范围,求证：3n(n2)2n1(nN*，且n2)证明：nN*，且n2.3n(21)n展开至少有四项(21)n2n2nn2n12n12nn2n1(n2)2n1，3n(n2)2n1.,1二项展开式的通项及其应用通项：Tr1(r0,1,2，n)应用：(1)求指定项；(2)求特定项：常数项(字母的次数为0)，有理项(字母的次数为整数)等；(3)特定项的系数,注意：(1)通项公式的书写要准确，特别要注意符号问题，根式问题的计算要细心认真；(2)要将通项中的系数和字母分离出来，以便解决有关问题对于二项式定理，不仅要会正用，而且要从整体把握，灵活地应用，对于三项式问题可转化为二项式定理问题去处理,2赋值法求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，若要求奇数项的系数之和，或偶数项的系数之和，可分别令x1，x1，两等式相加或相减即可求得结果3二项式定理的应用(1)用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”、“消去法”配合整除的有关知识解决(2)用二项展开式证明不等式，根据证明的目标展开有限项或进行不等式的放缩,
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