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第七节对数函数,一、对数的概念与性质,axN(a0，且a1),xlogaN,a,N,lgN,lnN,负数和零,0,1,N,二、对数的运算1.对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)；(2)loga；(3)logaMn(nR).,logaMlogaN,logaMlogaN,nlogaM,2.换底公式,(a0,且a1;c0,且c1;b0),三、对数函数的图象和性质1.对数函数的定义一般地，我们把函数y叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).,logax(a0，且a1),2.对数函数ylogax(a0，且a1)的图象和性质：,a1,0a1,性质,(1)定义域：,(0，),(2)值域：,R,(3)过定点，即时，,(1,0),x1,y0,(4)单调性：在(0，)上是,增函数,(4)单调性：在(0，)上是,减函数,(5)当0x1时，y；当x1时，,(，0),(0，),(5)当0x1时，y；当x1时，,(0，),(，0),1.若log2a0，()b1，则()A.a1，b0B.a1，b0C.0a1，b0D.0a1，b0,解析：log2alog21，0a1.()b1()0，b0.,答案：D,2.lg83lg5的值为()A.3B.1C.1D.3,解析：lg83lg5lg8lg125lg10003.,答案：D,3.设a1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a等于()A.B.2C.2D.4,解析：a1，f(x)logax在a,2a上为增函数，loga2alogaa，解得a4.,答案：D,4.函数y的定义域是.,解析：因(3x2)0，03x21，x1.,答案：(，1,5.若2lg(x3y)lgxlg(4y)，则的值等于.,解析：由2lg(x3y)lgxlg(4y)，得整理得，x9y(xy舍去)，所以,答案：,1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化.2.熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.,(1)计算：(2)已知2lglgxlgy，求,(1)观察式子的特征，利用对数的运算性质将式子化简(如去根号、降幂等)，然后求值.(2)利用已知条件求得的值后，代入log(32)求值.,(2)由已知得即x26xyy20.10.,【解】（1）原式,1.求值：(1)log2log212_log2421；(2)(lg2)2lg2lg50lg25；(3)(log32log92)(log43log83).,(2)原式lg2(lg2lg50)lg252lg2lg25lg1002.,(3)原式,解:（1）原式log2,利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.,【注意】在处理与对数函数有关的问题时，应注意底数的取值范围对解决问题的影响以及真数为正的限制条件.,已知f(x)loga(ax1)(a0，且a1).(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性.,(1)要真数大于零，同时分a1和0a1求解.(2)在定义域内研究函数单调性.,【解】(1)由ax10，得ax1.当a1时，x0；当0a1时，x0.当a1时，f(x)的定义域为(0，)；当0a1时，f(x)的定义域为(，0).(2)当a1时，设0x1x2，则1，故011，loga(1)loga(1)，f(x1)f(x2)，故当a1时，f(x)在(0，)上是增函数.类似地，当0a1时，f(x)在(，0)上为增函数.,2.对于函数f(x)log(x22ax3)，解答下列问题：(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在(，1内为增函数，求实数a的取值范围.,解：设ug(x)x22ax3(xa)23a2.(1)u0对xR恒成立，umin3a20(或由x22ax30的解集为R，得4a2120，求出).(2)命题等价于即所求a的取值范围是1,2).,利用它们的单调性可以解决有关的大小比较问题，进而可解指数、对数不等式和方程，其基本方法是“同底法”，即将不等式和方程两边化为同底的指数式(或对数式)，然后利用指数函数和对数函数的单调性脱去幂的形式(或对数符号)，得出自变量的不等(或相等)关系，从而把问题转化为熟悉的不等式(或方程)来解决.,已知函数yloga(x1)在区间3,4上总有1|y|1，则f(x)logax在(0，)上是增函数，x3,4，2x13，0loga2loga(x1)loga3，即loga2|y|loga3，又x3,4时总有1|y|2，,(2)若0a1，则f(x)logax在(0，)上是减函数.x3,4，2x13，loga3loga(x1)loga200loga2loga(x1)loga3，即loga2|y|loga3.又x3,4时总有11，且1x10x1，即A0,1).,对数函数在高考中的考查，重点是图象、性质及其简单应用，但有可能与其他知识结合.其考查形式多为选择、填空，2009年上海卷出题角度新颖，较好考查了函数的性质及对数式的计算.,(2009上海高考)有时可用函数f(x)描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(xN*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.(1)证明：当x7时，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降；,(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121，(121,127，(127,133.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.,解(1)证明：当x7时，f(x1)f(x)而当x7时，函数y(x3)(x4)单调递增，且(x3)(x4)0，故f(x1)f(x)单调递减.当x7，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降.,(2)由题意可知0.115ln整理得解得由此可知，该学科是乙学科.,(1)学生对增长量f(x1)f(x)总是下降不理解，导致一些学生不得分.(2)不能判定当x7时y(x3)(x4)是增函数是造成本题得低分的主要原因.,
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