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第五章圆5.1圆的性质及与圆有关的位置关系,中考数学(山东专用),A组20142018年山东中考题组考点一圆的有关概念与性质,五年中考,1.(2018济宁,4,3分)如图,点B、C、D在O上,若BCD=130,则BOD的度数是()A.50B.60C.80D.100,答案D如图所示.在优弧上任取一点A(不与点B、D重合),连接AB、AD.因为四边形ABCD是O的内接四边形,所以A+BCD=180.因为BCD=130,所以A=50,所以BOD=2A=250=100.,2.(2018烟台,10,3分)如图,四边形ABCD内接于O,点I是ABC的内心,AIC=124,点E在AD的延长线上,则CDE的度数为()A.56B.62C.68D.78,答案C由AIC=124,知IAC+ICA=180-AIC=180-124=56,又点I是ABC的内心,点I是ABC三个内角的平分线的交点,BAC+BCA=562=112,B=180-(BAC+BCA)=180-112=68.四边形ABCD内接于O,B+ADC=180,又ADC+CDE=180,CDE=B=68.,3.(2018菏泽,6,3分)如图,在O中,OCAB,ADC=32,则OBA的度数是()A.64B.58C.32D.26,答案D由垂径定理,得=,又ADC=32,BOC=2ADC=64,OBA=90-64=26.,4.(2018青岛,5,3分)如图,点A、B、C、D在O上,AOC=140,点B是的中点,则D的度数是()A.70B.55C.35.5D.35,答案D如图,连接OB.点B是的中点,=,AOB=AOC=140=70,D=AOB=70=35.,方法总结在圆中,见到弧的中点时,就要想到等弧,相等的圆心角、圆周角以及相等的弦.,5.(2017青岛,6,3分)如图,AB是O的直径,点C,D,E在O上,若AED=20,则BCD的度数为()A.100B.110C.115D.120,答案B连接AC.AED=20,ACD=AED=20.AB是O的直径,ACB=90,BCD=ACD+ACB=20+90=110.故选B.,思路分析连接AC,先根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,求得ACD的度数,再根据直径所对的圆周角是直角求得ACB的度数.最后由BCD=ACB+ACD得BCD的度数.,方法规律解决与圆有关的角度的相关计算问题时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解.特别地,当已知圆的直径时,往往要用到“直径所对的圆周角是直角”的性质.,6.(2017泰安,12,3分)如图,ABC内接于O,若A=,则OBC等于()A.180-2B.2C.90+D.90-,答案D连接OC,则BOC=2A=2,因为OB=OC,所以OBC=OCB=(180-2)=90-.,思路分析首先连接OC,然后利用同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系确定BOC的大小,最后利用等腰三角形的性质计算出OBC的度数.,7.(2016聊城,9,3分)如图,四边形ABCD内接于O,F是上一点,且=,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.若ABC=105,BAC=25,则E的度数为()A.45B.50C.55D.60,答案B=,DCF=BAC=25.又四边形ABCD是圆内接四边形,ADC=180-ABC=180-105=75,E=ADC-DCF=75-25=50.故选B.,思路分析利用圆的内接四边形对角互补的性质求出ADC的度数,利用在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等求出DCF的度数,最后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出E的度数.,8.(2017东营,14,3分)如图,AB是半圆的直径,半径OCAB于点O,D为半圆上一点,ACOD,AD与OC交于点E,连接CD、BD,给出以下三个结论:OD平分COB;BD=CD;CD2=CECO.其中正确结论的序号是.,答案,解析AB是半圆的直径,OCAB,OA=OB=OC,AOC=COB=90,OAC=45,ACOD,DOB=OAC=45,COD=COB-DOB=90-45=45,OD平分COB,BD=CD,故正确;CDE=COA=90=45,CDE=COD.在CDE和COD中,CDECOD,=.即CD2=CECO,故正确.,思路分析利用AO=CO,COAB,得到AOC为等腰直角三角形,即CAO=45,由ACOD得到DOB=CAO=45,进而得到DOC=45,OD平分COB;利用同圆(或同弧)中相等的圆心角所对的弦长相等即可得到BD=CD;利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,即可得到CDE=COA=90=45,即CDE=COD,又DCE=OCD,CDECOD,=,即CD2=CECO.,9.(2016枣庄,15,4分)如图,在半径为3的O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tanD=.,答案2,解析连接BC,AB为O的直径,ACB=90,又AB=2r=6,BC=4,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等知D=A,tanD=tanA=2,故答案为2.,思路分析连接BC,由直径所对的圆周角为直角,得到ABC为直角三角形,解RtABC,然后利用在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,即可求得tanD的值.,10.(2017济南,23,7分)如图,AB是O的直径,ACD=25,求BAD的度数.,解析AB是O的直径,ADB=90.ACD=25,B=ACD=25,BAD=90-B=90-25=65.,思路分析首先由AB是O的直径,推得ADB=90;然后由同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,得B=ACD=25;最后由直角三角形的两锐角互余,得BAD=90-B=90-25=65.,方法规律求与圆有关的角时,要想到:(1)同弧或等弧所对的圆周角相等;(2)同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;(3)圆的内接四边形的对角互补;(4)同圆和等圆的半径相等等.,11.(2016潍坊,21,8分)正方形ABCD内接于O,如图所示,在劣弧上取一点E,连接DE、BE,过点D作DFBE交O于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G.求证:(1)四边形EBFD是矩形;(2)DG=BE.,证明(1)四边形ABCD是正方形,BAD=BCD=90,BED=BAD=90,BFD=BCD=90,又DFBE,EDF+BED=180,EDF=90,四边形EBFD是矩形.(2)正方形ABCD内接于O,的度数是90,AFD=45,又GDF=90,DGF=DFG=45,DG=DF,又在矩形EBFD中,BE=DF,DG=BE.,思路分析(1)要证明四边形EBFD是矩形,需证明四边形EBFD的三个角是直角,先根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等及正方形的性质,得到BED=BFD=90,再根据两直线平行,同旁内角互补求得第三个角是直角即可.(2)根据圆周角与它所对弧的关系求得AFD=45,则DFG为等腰直角三角形,则DF=DG,再根据矩形的对边相等得到DF=BE,从而BE=DG.,考点二与圆有关的位置关系,1.(2018泰安,9,3分)如图,BM与O相切于点B,若MBA=140,则ACB的度数为()A.40B.50C.60D.70,答案A如图,连接OA,OB,则OBBM,BAO=ABO=MBA-OBM=140-90=50,AOB=180-502=80,ACB=AOB=40.,2.(2017枣庄10,3分)如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为()A.2rB.r3C.r5D.5r,答案B如图所示.由勾股定理可得:AB=2,AC=AD=,AE=3,AF=,AG=AM=AN=5,0),则MD=8x,OA=OD=13x,又AB=12,ABCD,AM=6.在RtAOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=(舍负),半径OA=,O的周长为13.,方法规律如图,设圆O的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则+d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其中任意两个量即可求出其余两个量.,4.(2016河北,9,3分)下图为44的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,点O是()A.ACD的外心B.ABC的外心C.ACD的内心D.ABC的内心,答案B设每个小正方形的边长为1,则OA=OB=OC=,所以点O到ABC三个顶点的距离都相等,所以点O在三角形ABC三边垂直平分线的交点上,故点O是ABC的外心.,评析本题考查了勾股定理和三角形外心的定义,用勾股定理分别求出点O与三角形ABC各顶点的距离,再根据定义作出判断即可.,5.(2018北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在O上,=,CAD=30,ACD=50,则ADB=.,答案70,解析=,BAC=CAD=30.又BDC=BAC=30,ACD=50,ADB=180-30-30-50=70.,6.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6,则AC=.,答案2,解析连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD=30,因为=cos30,所以AB=4.在RtABC中,AC=ABcos60=4=2.,7.(2017北京,14,3分)如图,AB为O的直径,C,D为O上的点,=.若CAB=40,则CAD=.,答案25,解析连接BC,BD,AB为O的直径,ACB=90,ABC=90-CAB=90-40=50.=,ABD=CBD=ABC=25,CAD=CBD=25.,8.(2017浙江湖州,12,4分)如图,已知在ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆O,交BC于点D.若BAC=40,则的度数是度.,答案140,解析AB=AC,BAC=40,B=C=70,的度数为270=140.,9.(2016黑龙江龙东地区,7,3分)如图,CD是O的直径,CD=4,ACD=20,点B为弧AD的中点,点P是直径CD上的一个动点,则PA+PB的最小值为.,答案2,解析如图所示,作出点A关于CD的对称点M,则=,连接MB交CD于点P.此时PA+PB的值最小,PA+PB的值最小为BM的长.作直径BN,连接MN.则BMN=90.ACD=20,点B为弧的中点,弧所对圆心角的度数为60,MNB=30.在RtBMN中,BM=BN=CD=4=2.PA+PB的最小值为2.,10.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.,解析(1)尺规作图如图所示.(2)连接OE交BC于M,连接OC.因为BAE=CAE,所以=,易得OEBC,所以EM=3.RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦CE的长为.,思路分析对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BAE=CAE可得=,可推出OEBC,最后利用勾股定理求出CE.,11.(2018河南,19,9分)如图,AB是O的直径,DOAB于点O,连接DA交O于点C,过点C作O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交O于点G.填空:当D的度数为时,四边形ECFG为菱形;当D的度数为时,四边形ECOG为正方形.,解析(1)证明:连接OC.CE是O的切线,OCCE.FCO+ECF=90.DOAB,B+BFO=90.CFE=BFO,B+CFE=90.(3分)OC=OB,FCO=B.ECF=CFE.CE=EF.(5分)(2)30.(注:若填为30,不扣分)(7分)22.5.(注:若填为22.5,不扣分)(9分),12.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DEAB,垂足为E.(1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB;(2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB=,DH=1,OHD=80,求BDE的大小.图1图2,解析(1)证明:AC是O的直径,ABC=90.又DEAB,DEA=90.DEA=ABC,BCDF,F=PBC.四边形BCDF是圆内接四边形,F+DCB=180,又PCB+DCB=180,F=PCB,PBC=PCB,PC=PB.(2)连接OD,AC是O的直径,ADC=90,又BGAD,AGB=90,ADC=AGB,BGDC.又由(1)知BCDE,四边形DHBC为平行四边形,BC=DH=1.在RtABC中,AB=,tanACB=,ACB=60,CAB=30.从而BC=AC=OD,DH=OD.在等腰三角形DOH中,DOH=OHD=80,ODH=20.设DE交AC于N.BCDE,ONH=ACB=60,NOH=180-(ONH+OHD)=40,DOC=DOH-NOH=40,CBD=OAD=20.BCDE,BDE=CBD=20.,一题多解(1)证明:易证DFBC,从而CD=BF,且=1,PB=PC.(2)连接OD,设BDE=x,则EBD=90-x,易证四边形BCDH为平行四边形,BC=DH=1,AB=,CAB=30,AC=2,ADB=ACB=60,OD=OA=1=DH,ODH=180-2OHD=180-280=20,OAD=ODA=ADB-(ODH+x)=60-(20+x)=40-x.又AOD=2ABD,180-2(40-x)=2(90-x),解得x=20,即BDE=20.,解后反思本题考查圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等基础知识,考查运算能力、推理能力与几何直观,考查化归与转化思想.,13.(2017浙江台州,22,12分)如图,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点(不与B,C重合),PE是ABP的外接圆O的直径.(1)求证:APE是等腰直角三角形;(2)若O的直径为2,求PC2+PB2的值.,解析(1)证明:ABC是等腰直角三角形,AC=AB,CAB=90,又PE是ABP的外接圆O的直径,PAE=90,CAP=BAE,又CPA+APB=180,APB+AEB=180,APC=AEB,ACPABE,AP=AE,APE是等腰直角三角形.(2)由(1)得ACPABE,CP=BE,又PBE=90,PE=2,EB2+PB2=PE2=4,即PC2+PB2=4.,考点二与圆有关的位置关系,1.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50,则BOD等于()A.40B.50C.60D.80,答案D由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180及ACB=50可得BAC=40,由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD=ODA+OAD=80.,2.(2017吉林,6,2分)如图,直线l是O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交O于点C.若AB=12,OA=5,则BC的长为()A.5B.6C.7D.8,答案D因为AB是圆O的切线,所以OAAB,由勾股定理可得,OB=13,又因为OC=5,所以BC=OB-OC=13-5=8,故选D.,3.(2017浙江宁波,9,4分)如图,在RtABC中,A=90,BC=2.以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC切于D、E两点,则的长为()A.B.C.D.2,答案B连接OA、OE、OD.RtABC中,O为BC的中点,BC=2,OA=OB=OC=.又AC、AB是O的切线,OD=OE=r,OEAC,ODAB,又A=90.四边形ODAE为正方形.DOE=90.易知AC=2r,AB=2r,在RtABC中,由勾股定理可得(2r)2+(2r)2=(2)2,r=1.的长=.故选B.,解题关键求出EOD及半径r是解题的关键.,4.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE=.,答案60,解析AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中点,BD=AB=BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE=360-90-90-120=60.,解题关键由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.,5.(2017江苏镇江,9,2分)如图,AB是O的直径,AC与O相切,CO交O于点D,若CAD=30,则BOD=.,答案120,解析AB是O的直径,AC与O相切,AOAC,即CAO=90,CAD=30,DAO=60,BOD=120.,6.(2017江苏徐州,16,3分)如图,AB与O相切于点B,线段OA与弦BC垂直,垂足为D,AB=BC=2,则AOB=.,答案60,解析线段OA与弦BC垂直,AB=BC=2,BD=BC=1,在RtABD中,sinA=,A=30,AB与O相切于点B,OBA=90,AOB=60,故答案为60.,7.(2018四川成都,20,10分)如图,在RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.(1)求证:BC是O的切线;(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;(3)若BE=8,sinB=,求DG的长.,解析(1)证明:如图,连接OD.AD为BAC的平分线,BAD=CAD,OA=OD,ODA=OAD,ODA=CAD,ODAC.又C=90,ODC=90,ODBC,BC是O的切线.(2)连接DF.由(1)可知,BC为O的切线.FDC=DAF,CDA=CFD,AFD=ADB,又BAD=DAF,ABDADF,=,AD2=ABAF,AD2=xy,AD=.,(3)连接EF.在RtBOD中,sinB=,设圆的半径为r,=,r=5,AE=10,AB=18.AE是直径,AFE=90,又C=90,EFBC,AEF=B,sinAEF=,AF=AEsinAEF=10=,AFOD,=,DG=AD,AD=,DG=.,思路分析(1)连接OD,由OD=OA,AD平分BAC,易得ODAC,所以ODBC,证得BC为圆O的切线;(2)连接DF,判定ABDADF,得AD2=ABAF=xy,即AD=;(3)连接EF,设圆的半径为r,由sinB的值,解直角ABC,直角AEF,根据ODAF,表示出DG=AD,又AD=,进而可以求出DG的长.,易错警示本题属于圆的综合题,考查了切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质及锐角三角函数.题中涉及直角三角形的条件间的转化较多,易造成代换或计算错误,加强对三角函数概念的理解,提高计算能力,是减少错误的关键.,8.(2018辽宁沈阳,22,10分)如图,BE是O的直径,点A和点D是O上的两点,过点A作O的切线交BE延长线于点C.(1)若ADE=25,求C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求O半径的长.,解析(1)连接OA,AC为O的切线,OA是O的半径,OAAC,OAC=90,ADE=25,AOE=2ADE=50,C=90-AOE=90-50=40.(2)AB=AC,B=C,=,AOC=2B,AOC=2C,OAC=90,AOC+C=90,3C=90,C=30,OAC=90,OA=OC,设O的半径为r,CE=2,r=(r+2),r=2,O的半径为2.,9.(2018陕西,23,8分)如图,在RtABC中,ACB=90,以斜边AB上的中线CD为直径作O,分别与AC、BC相交于点M,N.(1)过点N作O的切线NE与AB相交于点E,求证:NEAB;(2)连接MD,求证:MD=NB.,证明(1)连接ON,则OC=ON.DCB=ONC.在RtABC中,D为斜边AB的中点,CD=DB,DCB=B,ONC=B,ONAB.(2分)NE是O的切线,NEON,NEAB.(4分),(2)连接ND,则CND=CMD=90.ACB=90,四边形CMDN是矩形,(6分)MD=CN.由(1)知,CD=BD,CN=NB,MD=NB.(8分),思路分析(1)连接ON,由OC=ON可得DCB=ONC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=DB,进而得出DCB=B,再推出ONAB,然后根据切线的性质得出ONNE,最后得到结论;(2)根据圆周角定理可得CND=CMD=90,进而判断四边形CMDN为矩形,得出MD=CN,然后根据等腰三角形三线合一推出CN=NB,从而得到结论.,解题技巧针对含有切线的解答题,首先要想到的是作“辅助线”,由此获得更多能够证明题目要求的条件.一般作“辅助线”的方法为“见切点,连圆心”,从而构造直角(垂直),然后利用切线性质及其他几何知识进行证明或计算.,10.(2018内蒙古呼和浩特,24,10分)如图,已知BCAC,圆心O在AC上,点M与点C分别是AC与O的交点,点D是MB与O的交点,点P是AD延长线与BC的交点,且=.(1)求证:PD是O的切线;(2)若AD=12,AM=MC,求的值.,解析(1)证明:连接OD、OP,=,A=A,ADMAPO,ADM=APO,MDPO,1=4,2=3,OD=OM,3=4,1=2,又OP=OP,OD=OC,ODPOCP,ODP=OCP,BCAC,OCP=90,ODP=90,ODAP,又OD为半径,PD是O的切线.(2)由(1)知PC=PD,连接CD,AM=MC,AM=2MO=2R(R为O的半径).在RtAOD中,OD2+AD2=OA2,R2+122=9R2,R=3.OD=3,MC=6,=,AP=18,DP=6.又MDPO,O是MC的中点,=,点P是BC的中点,BP=CP=DP=6,又MC是O的直径,BDC=CDM=90,在RtBCM中,BC=2DP=12,MC=6,BM=6.易知BCMCDM,=,即=.MD=2,=.,思路分析第(1)问需要通过线段的比相等来寻找合适的相似三角形,进而得到角相等;第(2)问需要先求出半径,进而借助相似三角形的性质和判定解决.,解题关键解决本题的关键是要寻找合适的相似三角形,并综合运用相关几何知识解决问题.,11.(2018云南昆明,21,8分)如图,AB是O的直径,ED切O于点C,AD交O于点F,AC平分BAD,连接BF.(1)求证:ADED;(2)若CD=4,AF=2,求O的半径.,解析(1)证法一:连接OC.(1分)ED切O于点C,OCDE,OCE=90,OA=OC,OAC=OCA.AC平分BAD,OAC=DAC,OCA=DAC,(3分)OCAD,D=OCE=90,ADED.(4分)证法二:连接OC,(1分)ED切O于点C,OCDE,OCD=90,OA=OC,OAC=OCA,AC平分BAD,OAC=DAC,OCA=DAC,(3分)OCA+ACD=90,DAC+ACD=90,D=90,ADED.(4分),(2)解法一:设线段OC与BF的交点为H.AB是O的直径,AFB=HFD=90,(5分)OCD=D=90,四边形HFDC是矩形,CHF=90,即OCBF,FH=DC=4,(6分)FB=2FH=8.(7分)在RtBFA中,AFB=90,AF=2,由勾股定理可得AB=2,O的半径为.(8分)解法二:过点O作ONAF于点N.(5分)OCDE,ADED,OND=D=OCD=90,四边形ONDC是矩形,(6分),ON=CD=4,ONAF,AF=2,AN=AF=1.(7分)在RtOAN中,ONA=90,由勾股定理可得OA=,O的半径为.(8分),思路分析(1)连接OC,则OCDE,由AC平分BAD及OA=OC,得OAC=DAC=OCA,从而得OCAD或CAD+ACD=90,进而证得ADED;(2)设线段OC与BF的交点为H,则四边形HFDC是矩形,从而得到FB=8,进而利用勾股定理求解即可,或过O作ONAF于点N,则AN=1,在矩形ONDC中,ON=CD=4,由勾股定理求解即可.,解题关键本题考查了圆的切线的性质,勾股定理,矩形的性质.第(2)问中解法二的关键是过O作ONAF,构造矩形和直角三角形.,12.(2017湖北宜昌,21,8分)已知,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,DE=EC,以AE为直径的O与边CD相切于点D,B点在O上,连接OB.(1)求证:DE=OE;(2)若CDAB,求证:四边形ABCD是菱形.,证明(1)连接OD,CD是O的切线,ODCD.2+3=1+COD=90.又DE=EC,2=1,3=COD,DE=OE.(2)OD=OE,OD=DE=OE,3=COD=DEO=60,2=1=30,OA=OB=OE,而OE=DE=EC,OA=OB=DE=EC,又ABCD,4=1,2=1=4=OBA=30,ABOCDE,AB=CD.四边形ABCD是平行四边形.DAE=DOE=30,1=DAE,CD=AD,四边形ABCD是菱形.,C组教师专用题组,考点一圆的有关概念与性质,1.(2018陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O相交于点D,连接BD,则DBC的大小为()A.15B.25C.35D.45,答案AAB=AC,BCA=65,BCA=ABC=65,BAC=50,CDAB,BAC=ACD=50,根据圆周角定理的推论得ABD=ACD=50,所以DBC=ABC-ABD=65-50=15,故选A.,2.(2017辽宁锦州,7,2分)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AD与BC的延长线交于点E,BA与CD的延长线交于点F,DCE=80,F=25,则E的度数为()A.55B.50C.45D.40,答案CB=DCE-F=80-25=55,四边形ABCD是O的内接四边形,EDC=B=55,E=180-DCE-EDC=45.,3.(2017四川德阳,10,3分)如图,点D、E分别是O的内接正三角形的AB、AC边上的中点.若O的半径为2,则DE的长等于()A.B.C.1D.,答案A连接OB,过点O作OMBC于M,如图,在RtBOM中,OBM=30,OB=2,BM=2cos30=,BC=2BM=2,DE=BC=.故选A.,4.(2017福建,8,4分)如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与ACD互余的角是()A.ADCB.ABDC.BACD.BAD,答案DAB是O的直径,ADB=90,BAD+B=90,易知ACD=B,BAD+ACD=90,故选D.,5.(2017四川阿坝州,7,4分)如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为()A.2cmB.cmC.2cmD.2cm,答案D如图,过点O作ODAB,交AB于点D,连接OA,OA=2OD=2cm,AD=(cm),ODAB,AB=2AD=2cm.,6.(2017江苏南京,6,2分)过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为()A.B.(4,3)C.D.(5,3),答案A过C作CEAB于E,设所求圆的圆心为D,半径为r,连接AD,如图所示:A(2,2),B(6,2),圆心D在直线x=4上,D的横坐标为4.C(4,5),CE=3.CD=r,DE=3-r.在RtDAE中,AE2+DE2=AD2,即22+(3-r)2=r2,解得r=,D的纵坐标为5-=,D.故选A.,思路分析本题求过三点的圆的圆心坐标时,首先根据圆的对称性确定圆心的横坐标,然后根据勾股定理求出半径,最后求出圆心的坐标.,7.(2017浙江金华,7,4分)如图,在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片,则弦AB的长为()A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm,答案C如图,作OCAB交AB于D,交圆于C,OC=13cm,CD=8cm,OD=5cm,在RtBOD中,BD=12(cm),AB=2BD=24cm.,思路分析作OCAB交AB于D,交圆于点C,根据垂径定理和勾股定理求AB的长.,8.(2016广西南宁,9,3分)如图,点A,B,C,P在O上,CDOA,CEOB,垂足分别为D,E,DCE=40,则P的度数为()A.140B.70C.60D.40,答案BDCE=40,CDOA,CEOB,DOE=180-40=140,P=AOB=70,故选B.,9.(2016浙江丽水,10,3分)如图,已知O是等腰RtABC的外接圆,点D是上一点,BD交AC于点E,若BC=4,AD=,则AE的长是()A.3B.2C.1D.1.2,答案C因为AC=BC=4,C=90,所以由勾股定理得AB=4,所以BD=,易证CBEDAE,所以AEBE=DECE=ADCB=4=,因为AC,BD是O的两条相交弦,所以BEDE=AECE.若AE=3,则BE=15,故错误;若AE=2,则BE=10,故错误;若AE=1,则BE=5,DE=,CE=4-1=3,此时满足BEDE=AECE,故AE=1时正确;若AE=1.2,则BE=6,故错误,故选择C.,10.(2017四川雅安,15,3分)O的直径为10,弦AB长为6,点P是弦AB上一点,则OP的取值范围是.,答案4OP5,解析如图,连接OA,作OMAB与M,O的直径为10,OA=5,OP的最大值为5,OMAB与M,AM=BM,AB=6,AM=3,在RtAOM中,OM=4,OM的长即为OP的最小值,4OP5.,11.(2017四川自贡,17,4分)如图,等腰ABC内接于O,已知AB=AC,ABC=30,BD是O的直径,如果CD=,则AD=.,答案4,解析根据题意知,AB=AC,=,ADC=ADB=ABC=30,BDC=60,BD是O的直径,BCD=BAD=90,cosBDC=,BD=,cosBDA=,AD=cos30=4.,12.(2017四川广元,14,3分)已知O的半径为10,弦ABCD,AB=12,CD=16,则AB和CD的距离为.,答案14或2,解析分两种情况:当AB、CD在圆心O的两侧时,如图1,过O作OECD于E,延长EO将AB于F,连接OD、OB,ABCD,EFAB,ED=CD,BF=AB,AB=12,CD=16,ED=16=8,BF=12=6,由勾股定理得:OE=6,OF=8,EF=OE+OF=6+8=14;当AB、CD在圆心O的同侧时,如图2,同理得:EF=OF-OE=8-6=2,综上所述,AB和CD的距离为14或2.,13.(2016重庆A卷,15,4分)如图,OA,OB是O的半径,点C在O上,连接AC,BC.若AOB=120,则ACB=度.,答案60,解析根据圆周角定理,知ACB=AOB=120=60.,14.(2016青海西宁,18,2分)O的半径为1,弦AB=,弦AC=,则BAC度数为.,答案15或75,解析如图1,若两条弦在AD的同侧,连接BD、CD,则B=C=90,AB=,AC=,cosBAD=,cosCAD=,BAD=45,CAD=30,BAC=45-30=15;如图2,若两条弦在AD的两侧,连接BD、CD,则B=C=90,AB=,AC=,cosBAD=,cosCAD=,BAD=45,CAD=30,BAC=45+30=75.综上,BAC=15或75.,15.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD于BC,过点C作CEAD交ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO,求证:CO平分BCE.,证明(1)B=D,B=E,D=E.CEAD,E+DAE=180.D+DAE=180.AEDC.四边形AECD是平行四边形.(5分)(2)过点O作OMEC,ONBC,垂足分别为M、N.四边形AECD是平行四边形,AD=EC.又AD=BC,EC=BC,OM=ON,CO平分BCE.(10分),思路分析(1)根据“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等”可推出E=B,再由D=B,CEAD可推出AEDC,问题得证;(2)作OMCE,ONBC,垂足分别为M、N,由已知及(1)得出CE=BC,再根据“同一个圆内等弦对应的弦心距相等”可得OM=ON,从而由角平分线的判定定理可得结论.,解题关键抓住“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等及同圆内等弦对应的弦心距相等”是解决本题的关键.,16.(2017广西桂林,25,10分)已知:如图,在ABC中,AB=BC=10,以AB为直径作O分别交AC,BC于点D,E,连接DE和DB,过点E作EFAB,垂足为F,交BD于点P.(1)求证:AD=DE;(2)若CE=2,求线段CD的长;(3)在(2)的条件下,求DPE的面积.,解析(1)证明:AB是O的直径,ADB=90,又AB=BC,D是AC的中点,ABD=CBD,AD=DE.(2)四边形ABED内接于O,CED=CAB,又C=C,CDECBA,=,又AB=BC=10,CE=2,D是AC的中点,CD=.(3)延长EF交O于M,在RtABD中,AD=,AB=10,BD=3,又ABEM,AB是直径,=,BEP=EDB,BPEBED,=,BP=,DP=BD-BP=,SDPESBPE=DPBP=1332,SDPESBDE=1345,SBCD=3=15,SBDESBCD=BEBC=45,SBDE=12,SDPE=.,思路分析(1)根据直径所对的圆周角为90可得ADB=90,结合AB=BC,由等腰三角形三线合一的性质得出ABD=CBD,即可得AD=DE;(2)先证CDECBA,即可得=,即可求出CD的长;(3)根据勾股定理求出BD的长,延长EF交圆O于M,可证BPEBED,即可求得BP,DP的长,故可得SDPESBDE=1345,又SBCD=15,SBDESBCD=BEBC=45,故SBDE=12,从而求出SDPE=.,17.(2017浙江杭州,23,12分)如图,已知ABC内接于O,点C在劣弧AB上(不与点A,B重合),点D为弦BC的中点,DEBC,DE与AC的延长线交于点E,射线AO与射线EB交于点F,与O交于点G,设GAB=,ACB=,EAG+EBA=.(1)点点同学通过画图和测量得到以下数据:,猜想:关于的函数表达式,关于的函数表达式,并给出证明;(2)若=135,CD=3,ABE的面积为ABC的面积的4倍,求O的半径.,解析(1)=+90;=180-.证明:连接CG,因为AG是直径,所以ACG=90,因为DE垂直平分BC,所以EB=EC,所以EBC=ECB,BED=CED.因为BAG=BCG,所以=BCG+ACG=BAG+ACG=+90.因为ECG=90,CDDE,所以BCG=CED,所以BEC=2,所以=EAG+EBA=BAG+EAB+EBA=BAG+(180-BEC)=+(180-2)=180-.(2)因为=135,所以=45,=135,所以ECB=EBC=45.所以ECB为等腰直角三角形,又因为CD=3,所以BC=6,所以CE=BE=3,因为ABE的面积为ABC的面积的4倍,所以AEAC=41,所以AE=4,在RtABE中,AB=5,连接BG,因为AG是直径,所以ABG=90,在RtABG中,BAG=45,所以BG=AB,所以AG=10,所以O的半径为5.,18.(2017黑龙江牡丹江,22,5分)如图,在O中,=,CDOA于D,CEOB于E,求证:AD=BE.,证明=,AOC=BOC,CDOA于D,CEOB于E,CDO=CEO=90,在CDO和CEO中,CDOCEO(AAS),OD=OE,OA=OB,AD=BE.,19.(2016临沂,23,9分)如图,A,P,B,C是圆上的四个点,APC=CPB=60,AP,CB的延长线相交于点D.(1)求证:ABC是等边三角形;(2)若PAC=90,AB=2,求PD的长.,解析(1)证明:APC=CPB=60,ABC=BAC=60,(2分)ACB=60,(3分)ABC是等边三角形.(4分)(2)解法一:PAC=90,APC=ACB=60,D=DAB=PCB=30,BD=AB=2.(6分)又易证PBD=PAC=90,PD=4.(9分),解法二:PAC=90,APC=ACB=60,ACP=PCB=D=30
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