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,欢迎进入数学课堂,36直线与平面、平面与平面所成的角,3.6,课堂互动讲练,知能优化训练,课前自主学案,学习目标,1.能用向量方法解决直线和平面所成角的计算问题2理解二面角的概念3能够利用向量方法解决平面与平面所成角的问题,课前自主学案,射影,思考感悟,1直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面法向量所成角互余吗？提示：不一定,2二面角的相关概念(1)半平面：在一个平面内作一条直线，则这条直线将平面分成两部分，其中_都称为半平面(2)二面角：从一条直线l出发的两个半平面，组成的图形叫作二面角，记为_.这条直线l称为二面角的_，半平面，都称为这个二面角的面,每部分,l,棱,(3)二面角的平面角：过二面角l的棱l上任意一点O作_棱l的平面，分别与两个面，相交得到两条射线OA，OB，则AOB称为二面角l的平面角二面角的范围是0180.(4)度量：二面角的大小用它的_度量,垂直于,平面角,思考感悟,2如何正确认识二面角？提示：(1)二面角是一个空间图形，它是由两个半平面和一条直线构成的图形，可以类比平面内的角(2)符号l表示以l为棱，、为两个半平面的二面角(3)两个平面相交，可以构成四个二面角(4)在二面角l的棱l上任取一点O，在两半平面内分别作射线OAl，OBl，则AOB叫作二面角l的平面角,3二面角与平面法向量的关系,课堂互动讲练,【思路点拨】利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连接C1M，证明C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量n(，x，y)求解,【名师点评】在解答本题过程中，易出现所求角为150的错误，导致该种错误的原因是忽视了直线与平面的法向量的夹角和直线与平面夹角的区别,自我挑战1,如图，在体积为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB90，ACBC1，求直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值,利用向量法求二面角的步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求出两个法向量的夹角；(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定出二面角的平面角的大小,(2010年高考天津卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明：AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值,【思路点拨】解答本题首先建立空间坐标系，写出一些点的坐标，再利用向量法求解,【解】如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点设AB1，依题意得D(0,2,0)，,【名师点评】,自我挑战2,如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60.(1)证明：ABA1C；(2)求二面角AA1CB的余弦值,由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC.建立如图所示空间直角坐标系，,如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1，AB2，AA11，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点(1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；(2)求平面BDF与平面A1B所成二面角(锐角)的余弦值；(3)求直线AB与平面BDF夹角的正弦值,【思路点拨】所给图形是长方体，“垂直”关系明显，可建立空间直角坐标系，利用向量法求解,【解】在长方体ABCDA1B1C1D1中，以AB、AD、AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图,1利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法分为两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌握2利用向量方法求二面角的方法分为二类：一类是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去计算其大小；另一类是利用二面角的两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关系去求后一类需要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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