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,欢迎进入数学课堂,【数学】函数的概念和性质精品课件（湘教版必修1）,函数的概念与性质,1、函数的连续性2、函数的间断点,3、闭区间上连续函数的性质,1.概念,一、函数的连续性,曲线不断,曲线断开,函数f(x)随x的改变而逐渐改变,有突变现象,2.连续的定义P50,注：1)函数f(x)在x0连续的等价写法(满足定义1的条件):,2)若y=f(x)在x0处不连续，则称y=f(x)在x0处间断。,3)极限与连续的关系:极限连续连续函数必有极限,有极限不一定是连续函数.例如,例1,证,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,基本初等函数在其定义域上连续,初等函数在其定义区间上连续.,例3,证,例4.设,在x=0处连续，求常数a与b应满足的关系。,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例5,解,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,3.第二类间断点,例6,解,例7,解,注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续,在定义域R内其余各点处处间断.但其绝对值处处连续.,例8研究下列函数在x=0的连续性，若是间断的，指出间断点类型。,（a为任意实数）,解：1),x=0为第一类间断点。,不存在，x=0为第二类间断点。,4）,当a=0时f4(x)在x=0处连续。,a0时x=0为f(x)的可去间断点。,2),3）,小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,思考题,思考题解答,且,1、一类；一类；二类。,2、,但反之不成立.,例,但,1.3.3闭区间上连续函数的性质,最大值和最小值定理介值定理,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,证：,取,当|x|X时,|f(x)-A|1,又|f(x)|-|A|f(x)-A|1,即:|f(x)|0,xX,都有|f(x)|M0,取M=max|A|+1,M0,例1设f(x)在(-,+)上连续，且存在,证明f(x)在(-,+)上有界。,有渐近线,二、介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.,例1,证,由零点定理,例2,证,由零点定理,例5设f(x)在(a,b)内连续，x1,x2,xn是(a,b)内任意值，证明存在一点(a,b)使,证：设,f(x)在(a,b)内连续，f(x)在xi,xj上连续。,x1,x2xnxi,xj,由最值定理：f(x)在xi,xj上达到最大M=f(1)，最小值m=f(2)，,即,据介值定理推论:至少存在,使,小结,四个定理,最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.,注意1闭区间；2连续函数这两点不满足,上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,思考题,下述命题是否正确？,思考题解答,不正确.,例函数,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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