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,欢迎进入数学课堂,3函数的单调性,学习导航学习目标重点难点重点:函数单调性定义及应用难点:证明函数的单调性求单调区间和最值.,1函数单调性的定义一般地，对于函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时，都有_，就称函数yf(x)在区间A上是增加的,f(x1)0，能说f(x)在A上是增函数吗？提示：f(x)在A上是增函数x1x2时f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)符合增函数的定义,做一做1.下列命题正确的是()A定义在(a，b)上的函数f(x),如果存在x1，x2(a，b)，使得x1x2时，有f(x1)f(x2),那么f(x)在(a，b)上为增函数B定义在(a，b)上的函数f(x)，如果有无穷多对x1，x2(a，b)，使得x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数,C如果f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1I2上也一定为增函数D如果f(x)在区间I上为增函数且f(x1)f(x2)(x1，x2I)，那么x1x2解析：选D.A，B项中的x1,x2不具有任意性,C项中f(x)在I1和I2上均为增函数，但在I1I2上的单调性无法判定,2函数f(x)在R上是减函数，则有()Af(3)f(5)Df(3)f(5)答案：C3已知函数yf(x)的图像如图所示，则它的单调减区间为_,2最大值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最大值(maximumvalue),3最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)m；(2)存在x0I，使得f(x0)m.那么，我们称m是函数yf(x)的最小值(minimumvalue),做一做4.函数f(x)x1在区间3,6上的最大值和最小值分别是()A6,3B5,2C9,3D7,4解析：选B.函数f(x)x1在区间3,6上是增函数,则当3x6时,f(3)f(x)f(6)，即2f(x)5,所以最大值和最小值分别是5,2.,题型一函数单调性的判断与证明证明函数f(x)x3在R上为增函数,【名师点睛】有的同学认为直接由x1x2得xx即可，其实这种证明方法是不正确的，因为我们没有这样的性质作依据，而且这种证明方法正是利用了函数yx3的单调性，而函数yx3的单调性我们还没有证明，不能直接使用另外，在作差变形的过程中，我们要尽量化成几个最简因式的乘积，要注意写出详细的解题步骤，这是很有必要的,变式训练,题型二已知函数单调性求参数设函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数求a的取值范围【解】任取x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)(2a1)x1b(2a1)x2b(2a1)(x1x2)，因为x10，【思维总结】已知函数的单调性求参数取值范围的方法是：视参数为已知数，参照单调性的定义或图像求出f(x1)f(x2)的符号，结合已知条件建立不等式，然后从中分析参数的取值范围,变式训练,题型三利用单调性求函数最值,【规律小结】若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a),变式训练,题型四利用单调性比较大小或解不等式(本题满分10分)已知f(x)是定义在(0，)上的减函数，实数a满足f(a1)0，试比较f(3)，f()的大小解：法一：由题意可知(3)(f(3)f()0，又30，所以f(3)f()0，f(3)f(),法二：由题意可知x1，x2的大小关系与相应函数值f(x1)，f(x2)的大小关系一致，则函数f(x)是定义在R上的增函数，又3，所以f(3)f(),2设函数f(x)是实数集R上的增函数，令F(x)f(x)f(2x)，求证F(x)在R上是增函数证明：任取x1，x2R，且x12x2.f(x)是R上的增函数，f(x1)f(2x2)，即f(x1)f(x2)0，f(2x2)f(2x1)0，,F(x1)F(x2)f(x1)f(2x1)f(x2)f(2x2)f(x1)f(x2)f(2x2)f(2x1)0，即F(x1)F(x2)，F(x)在R上是增函数,方法技巧1函数单调性证明的一般步骤为：(1)任取所给区间内两个值x1、x2，且x1x2；(2)作差：f(x1)f(x2)；(3)变形；(4)定号；(5)结论在上述几步中，关键一步是变形，变形的目的是判断符号,2判断函数单调性的方法有定义法、图像法、复合函数法，两个函数和(差)的单调性的判断，增增增，减减减，增减增，减增减3单调性定义的等价形式(1)设x1，x2a，b(x1x2，ab)，那么,失误防范,3确定单调性一定要相对于某个区间而言,而且一定要在定义域内如yx2只可说在(0,)上为增，在R上无单调性4已知函数单调性求参数范围的问题，解法是根据单调性的概念得到恒成立的不等式,还要注意定义域的限制,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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