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,2.3数学归纳法,一、复习回顾,前几节课我们学习了数学中的哪几种推理与证明方法？答：推理有归纳推理；类比推理及演绎推理三种证明有直接证明和间接证明。,从前，有个小孩叫一百万，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“一百万”写名字结果可想而知。,“一百万的笑话,二，情境引入,解:,猜想数列的通项公式为,验证:同理得,啊,有完没完啊?,正整数无数个!,（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？,（2）你的猜想一定是正确的吗？,看看下面的动画对我们解决问题有什么启示？（人体多米诺）,三、引导探究,1、第一块骨牌倒下,2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下,条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下,请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件,多米诺骨牌游戏原理,（1）当n=1时，猜想成立,根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。,通项公式为的证明方法,（一）类比归纳,根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.,证明：,即数列的通项为,一般地证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：,1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立；,2.（归纳递推）假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.,这种证明方法就叫做。,数学归纳法,（二）、定义,数学归纳法,验证n=n0时命题成立,若n=k(kn0)时命题成立n=k+1时命题也成立,命题对所有的正整数n(nn0)都成立。,归纳奠基,归纳递推,两个步骤，一个结论。,结论,概念构建,证明:(1)当n=1时,左1，右121n=1时，等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2那么，当n=k+1时左1+3+5+(2k1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时等式成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立,递推基础,递推依据,四、例题讲解,变式训练,例1用数学归纳法证明,（1）当n=1时左边=1右边=1则等式成立,（2）假设当n=k时等式成立，即,那么n=k+1时左式=,即n=k+1时等式也成立.,根据（1）和（2），可知等式对任何成立.,证明：,布置作业：,2.3习题A组第一题（1），（2），（3）,1.数学归纳法能够解决哪一类问题？,用于证明某些与正整数有关的数学命题。,2.数学归纳法证明命题的步骤？,(1)证明当n取第一个值(初始值)时结论正确；,(2)假设当n取k时结论正确，推导n取k的下一个值时结论也正确.,课堂小结,
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