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2.2.2反证法,温故迎新,1.直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程.,综合法:,已知条件,结论,分析法:,结论,已知条件,路边苦李,王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？,小故事:,王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.,王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?,实例：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。先生突然想附庸风雅一番，乃作一歪诗：天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：,实际上，小牧童正是巧妙运用了逆向思维，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。,先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。,这就是逆向思维的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”便迎刃而解了。,证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60.,引例,已知：A，B，C是ABC的内角.求证：A，B，C中至少有一个不小于60,已知：A，B，C是ABC的内角.求证：A，B，C中至少有一个不小于60,证明：,假设的三个内角A，B，C都小于60，,所以A60，B60，C60,0，x+y2，求证：中至少有一个小于2。,分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“两个都”不成立即可.,注:“至少”、“至多”型命题常用反证法,证明:,假设均不小于2，则,x0,y0,1+x2y，1+y2x,将两式相加得:x+y2，与已知x+y2矛盾，,所以中至少有一个小于2。,例3、已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。,例2：不可能成等差数列,例4：已知x0,y0，x+y2，求证：中至少有一个小于2。,（1）直接证明有困难,正难则反!,归纳总结：,哪些命题适宜用反证法加以证明？,牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”,（3）唯一性命题,（2）否定性命题,（4）至多，至少型命题,反证法的一般步骤,先假设命题的结论不成立,从假设出发，经过推理,得出矛盾,否定假设,肯定原命题,分清条件和结论,假设互补的两个角都大于90.,假设ABC中,至少有两个钝角,（3）“若a2b2,则ab”。,假设a=b,1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.,假设这个数是奇数,可以设为2k+1,证:,则有,而,不是偶数,这与原命题条件矛盾.,所以原命题成立,1、知识小结：反证法证明的思路：假设命题的结论不成立正确的推理,得出矛盾否定假设，肯定待证明的命题,2、难点提示:利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。“至少”的反面是“没有”，“最多”的反面是“不止”。,准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.,不是,不都是,不大于,不小于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,存在某个x，不成立,存在某个x,成立,不等于,某个,
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