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2.4函数与方程,一,二,三,四,一、函数的零点【问题思考】1.二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实根的条件是什么?提示:当0,即b2-4ac0时,二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根.2.一次函数y=kx+m(k0)的图象与x轴的交点坐标是什么?这个交点的坐标与方程kx+m=0的根有何关系?提示:交点坐标为,其中交点的横坐标恰好为方程kx+m=0的根.,一,二,三,四,3.填空:(1)定义:一般地,如果函数y=f(x)在实数处的值等于零,即f()=0,则叫做这个函数的零点.(2)性质:当函数的图象通过零点且穿过x轴时,函数值变号.两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号.,一,二,三,四,解析:由函数零点的定义,看是否存在实数x,使f(x)=0,若存在,则f(x)有零点,若不存在,则f(x)无零点.,答案:D,一,二,三,四,二、二次函数的零点与对应二次方程的实根个数之间的关系【问题思考】1.二次函数没有零点的等价说法是什么?提示:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),当=b2-4ac0时,函数y=f(x)没有零点,则函数y=f(x)的图象与x轴没有交点.2.二次函数的零点最多只有两个吗?所有的二次函数都有零点吗?提示:二次函数的零点最多只有两个,因为二次函数对应的一元二次方程最多只有两个根.并不是所有的二次函数都有零点,这是因为不是所有的一元二次方程都有实数根,如函数y=x2+2x+2就没有零点.,一,二,三,四,3.填写下表:,一,二,三,四,一,二,三,四,三、零点存在的判断方法及分类【问题思考】1.对于函数f(x),若满足f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内一定有零点吗?若f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)0一定成立吗?提示:对于函数f(x),若满足f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内不一定有零点,如图(1)所示;若函数f(x)在区间(a,b)内有零点,则不一定有f(a)f(b)0,如图(2)所示.,一,二,三,四,2.填空:(1)零点存在的判断方法:如果函数y=f(x)在一个区间a,b上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)0,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点x0(a,b),使f(x0)=0.(2)分类:,一,二,三,四,3.做一做:若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)上,则下列命题中正确的是()A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间2,16)内无零点D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析:由题中条件易知函数f(x)的零点必在(0,2)内.故选C.答案:C,一,二,三,四,四、求函数零点的近似值的一种计算方法二分法【问题思考】1.填空:(1)二分法的定义:对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)“二分法”求函数零点的一般步骤:已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它满足给定的精确度.用二分法求函数零点的一般步骤:在D内取一个闭区间a0,b0D,使f(a0)与f(b0)异号,即f(a0)f(b0)0,零点位于区间a0,b0中.,一,二,三,四,计算f(x0)和f(a0),并判断:如果f(x0)=0,则x0就是f(x)的零点,计算终止;如果f(a0)f(x0)0,则零点位于区间x0,b0中,令a1=x0,b1=b0.,计算f(x1)和f(a1),并判断:如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止;如果f(a1)f(x1)0,则零点位于区间x1,b1上,令a2=x1,b2=b1;继续实施上述步骤,直到区间an,bn,函数的零点总位于区间an,bn上,当区间的长度bn-an不大于给定的精确度时,这个区间an,bn中的任何一个数都可以作为函数y=f(x)的近似零点,计算终止.,一,二,三,四,2.用二分法能求函数f(x)=(x-3)2的零点的近似值吗?提示:不能.二分法是用来解决在闭区间上连续,且两端点函数值异号的函数的零点近似值的方法.函数f(x)=(x-3)2虽是连续的,但在它的定义域上的任何一个闭区间a,b内,都不满足f(a)f(b)0,所以无法判定零点的大致区间,即不能用二分法求其零点近似值.,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)零点就是函数图象与x轴的交点.()(2)二次函数有可能有三个零点.()(3)用二分法可求所有函数零点的近似值.()(4)二分法无规律可循.()(5)只有在求函数零点时才用二分法.()(6)若函数f(x)在闭区间a,b上的图象是连续曲线,且在区间(a,b)内至少有一个零点,但不一定有f(a)f(b)0.()(7)若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象不是连续曲线,则当f(a)f(b)0时,f(x)在区间(a,b)内一定有零点.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7),探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,求函数的零点【例1】求下列函数的零点:(1)f(x)=-x2-2x+3;(2)f(x)=x4-1.分析:解对应的方程的根,即为函数的零点.解:(1)由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),所以方程-x2-2x+3=0的两根是-3,1.故函数的零点是-3,1.(2)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),所以方程x4-1=0的实数根是-1,1.故函数的零点是-1,1.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,反思感悟1.函数零点的求法:解方程f(x)=0,所得实数解就是f(x)的零点.解三次以上的高次方程时,一般需要因式分解.2.对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,变式训练1(2017湖南衡阳高一检测)求f(x)=x3-4x的零点.解:令f(x)=0,即x3-4x=0,所以x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0,解得x1=0,x2=-2,x3=2.所以函数f(x)=x3-4x有3个零点,分别是-2,0,2.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,判断函数的零点个数【例2】(1)函数f(x)=ax2+bx+c满足ac0(因ac0,a0时,设f(x)=ax2-2x+1,方程ax2-2x+1=0的根,即函数f(x)的零点分别在区间(0,1),(1,2)内,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,反思感悟解决根的分布问题的一般步骤1.首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.2.结合草图考虑三个方面:(1)与零的大小关系;(2)对称轴与所给端点值的关系;(3)端点的函数值与零的关系.3.写出由题意得到的不等式(组).4.由得到的不等式(组)去验证图象是否符合题意.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,(2017江西吉安调研)求证:方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.分析:可由函数零点的性质证明5x2-7x-1=0的两根分别位于(-1,0)和(1,2)内,即证明在(-1,0)和(1,2)内分别有一个零点.解:设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)f(0)=11(-1)=-110,则函数f(x)在区间(a,b)内()A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点解析:由于二次函数f(x)=x2+mx+n中的二次项系数大于0,故该函数的图象大致如下图所示.结合上述图象可知应选C.答案:C,1,2,3,4,5,4.下面是连续函数f(x)在1,2上一些点的函数值:,由此可判断:方程f(x)=0的一个近似解为.(精确到0.1)解析:由题中表格对应的数值可得,函数零点一定在区间1.4065,1.438上,由精确度可知近似解可为1.4.答案:1.4,1,2,3,4,5,5.(1)当m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.有且仅有一个零点?有两个不同零点且均比-1大?(2)若函数F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.解:(1)若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,则等价于=4m2-4(3m+4)=0,即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,(2)若F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,即|4x-x2|+a=0有四个根,即|4x-x2|=-a有四个根.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.则作出g(x)的图象,如下图所示.由图象可知要使|4x-x2|=-a有四个根,则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点,所以0-a4,即-4a0.,
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