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1,第四章根轨迹法,4.1根轨迹的基本概念4.2绘制根轨迹的规则4.3广义根轨迹4.4线性系统的根轨迹分析法,2,4.1根轨迹的概念,4.1.1根轨迹图根轨迹图是闭环系统特征方程的根（即闭环极点）随开环系统某一参数由零变化到无穷大时在S平面上的变化轨迹。,3,4.1.2开环零、极点与闭环零、极点之间的关系,4,系统的开环传递函数为为系统的开环增益，为开环系统的根轨迹增益；m=f+l为开环系统的零点数，为开环系统的极点数。,(4-1),5,4.1.3根轨迹增益与开环系统增益K的关系由第三章，系统的开环增益（或开环放大倍数）为（4-2）式中是开环传递函数中含积分环节的个数，由它来确定该系统是零型系统（）,型系统（）或型系统（）等。将（4-1）代入（4-2）可得,6,4.2绘制根轨迹的规则,4.2.1绘制根轨迹的依据系统的特征方程为,当系统有m个开环零点和n个开环极点时，特征方程可写成,称为根轨迹方程,7,根轨迹方程是一个向量方程，用模和相角的形式表示由此可得到满足系统特征方程的幅值条件和相值条件为幅值条件：相角条件：,8,设系统的开环传递函数为满足幅值条件的表达式为或满足相角条件的表达式为,9,4.2.2绘制根轨迹的基本规则,通常，我们把以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有7条：根轨迹的起点与终点；根轨迹的分支数；实轴上的根轨迹；根轨迹的渐近线；根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹的起始角和终止角；根轨迹与虚轴的交点。,10,规则1根轨迹的起点和终点幅值条件可写成当，必须有此时，系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，我们把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益。当时，必须有，此时，系统的闭环极点与开环零点相同(重合)，我们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增益。,11,分三种情况讨沦。1当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。2当mn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。,12,结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点（)；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处(无限极点)。,13,规则2根轨迹的分支数、连续性和对称性根轨迹是描述闭环系统特征方程的根在S平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。当由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线。由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。,规则3实轴上的根轨迹若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数则该线段是实轴上的根轨迹。,14,规则4渐近线当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。,渐近线与实轴的交点位置和与实轴正方向的交角分别为,15,系统的特征方程可写成上式称为分离点方程。分离点方程的另一种形式为式中，为开环零点的数值，为开环极点的数值。,规则5根轨迹的分离点,16,规则6起始角与终止角当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和终止角问题,先给出定义如下：起始角根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（a）中的和。终止角根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（b）中的和。,17,图4-1(a)根轨迹的起始角和终止角,18,图4-1(b)根轨迹的起始角和终止角,19,规则7根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。这时，用代入特征方程可得即,由此可得虚部方程和实部方程为解虚部方程可得角频率，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值。的物理含义是使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。它对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。,20,4.3广义根轨迹,前面介绍的普通根轨迹或一般根轨迹的绘制规则是以开环根轨迹增益为可变参数的，大多数系统都属于这种情况。但有时候，为了分析系统方便起见，或着重研究某个系统参数(如时间常数、反馈系数等)对系统性能的影响，也常常以这些参数作为可变参数绘制根轨迹，我们把以非开环根轨增益作为可变参数绘制的根轨迹叫做参数根轨迹(或广义根轨迹)。,4.3.1参数根轨迹.,21,4.3.2正反馈系统的根轨迹,正反馈系统的特征方程是(4-3)即(4-4)由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件分别为(4-5)(4-6)与负反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件相比知，正反馈系统和负反馈系统的幅值条件相同；,22,负反馈系统的根轨迹遵循180相角条件，而正反馈系统的根轨迹遵循0相角条件。故正反馈系统根轨迹又称为零度根轨迹。由于相角条件不同，在绘制正反馈系统根轨迹时，须对前面介绍的绘制负反馈系统普通根轨迹的七条基本规则中与相角条件有关的三条规则作相应修改，这些规则是：正反馈系统根轨迹的渐近线与实轴正方向的夹角应为(4-7),23,正反馈系统在实轴上的根轨迹是那些在其右侧的开环实零点和开环实极点的总数为偶数或零的线段。正反馈系统的起始角和终止角应为下面通过示例进一步说明正反馈系统根轨迹的绘制方法。,24,4.4线性系统的根轨迹分析法,根轨迹法是在已知系统的开环传递函数零、极点分布的基础上，研究某个和某些参数的变化对系统闭环极点分布的影响的一种图解方法。由于根轨迹图直观、完整地反映系统特征方程的根在S平面上分布的大致情况，通过一些简单的作图和计算，就可以看到系统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析研究控制系统的性能和提出改善系统性能的合理途径都具有重要意义。下面通过示例简要介绍用根轨迹分析控制系统的方法。,25,例4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性和计算闭环主导极点具有阻尼比时系统的动态性能指标。,解先根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根轨迹图。系统的特征方程是或,26,图4-2例4-1的根轨迹图,27,系统稳定性分析由根轨迹图知，有两条从S平面左半部穿过虚轴进入S平面右半部，它们与虚轴的交点，且交点处对应的临界开环根轨迹增益。,由开环根轨迹增益与系统开环放大系数K之间的关系可求出系统稳定的临界开环放大系数,系统动态性能指标首先求出满足阻尼比时系统的主导极点的位置（假定、满足主导极点的条件）。,方法是作等阻尼比线oA，使oA与实轴负方向的夹角,28,等阻尼比线oA与根轨迹的交点即为满足阻尼比系统的一个闭环极点（即系统特征方程的一个根）。测得在s平面上的坐标位置为,由根轨迹的对称性得到另一共轭复数极点为。由幅值条件可求出闭环极点所对应的系统开环根轨迹增益为,将、和代入特征方程，由根和系数之间关系很容易得到另外两个闭环极点、，它们也是一对共轭复数极点由此可计算出,29,共轭复数极点与虚轴的距离是共轭复数极点与虚轴的距离的九倍，且闭环极点附近无闭环零点，这说明、满足主导极点的条件。,该系统可近似成由闭环主导极点构成的一个二阶系统，其闭环传递函数为,此时对应的系统开环放大系数,30,过渡过程时间超调量峰值时间,由此可求出系统的各项动态指标如下：,
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