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第2课时补集与集合的综合运算,一,二,一、全集【问题思考】1.全集一定包含任何元素吗?提示:不一定.只要含有所有所要研究的对象即可做全集.换一句话说,所研究对象对应的集合一定为该全集的子集.2.填空.在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.,一,二,二、补集【问题思考】1.已知U=a,b,c,d,e,f,A=b,f,如果从全集U中去掉集合A中的元素,剩下的元素构成的集合是什么?提示:剩余元素构成的集合为a,c,d,e.2.上述问题中所求得的集合应该怎样命名?提示:集合a,c,d,e可称为子集A在全集U的补集.符号表示为:UA=a,c,d,e.,一,二,3.填写下表:,一,二,4.做一做:若U=x|x0,A=x|x3,则UA=.答案:x|0x35.做一做:如图所示的阴影部分表示的集合是()A.A(UB)B.B(UA)C.U(AB)D.U(AB)答案:B,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)对任意集合A,B,U为全集,均有U(AB)=(UA)(UB).()(2)对任意集合A,B,U为全集,均有U(AB)=(UA)(UB).()(3)A(RA)=R.()(4)若A=,则R=.()答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思想方法,集合的补集运算【例1】已知全集U=R,集合A=x|-3x3,集合B=x|x1.求:(1)UA,UB;(2)U(AB).分析:(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求AB,再根据补集的定义写出.解:(1)A=x|-3x3,B=x|x1.在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.UA=x|x-3或x3,UB=x|x1.(2)AB=x|-3x1,如图阴影部分所示.U(AB)=x|x1或x-3.,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,再结合补集的定义来求解.另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于Venn图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.2.如果所给集合是无限集,则常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点值能否取得.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练1求解下列各题:(1)设全集U=R,集合A=x|0x3,则UA=;(2)设全集U=三角形,集合A=直角三角形,则UA=.解析:(1)由于全集U=R,画出数轴(如图所示),由补集的定义可得UA=x|x0,或x3.(2)U=三角形,A=直角三角形,UA=锐角三角形,或钝角三角形.答案:(1)x|x0,或x3(2)锐角三角形,或钝角三角形,探究一,探究二,探究三,思想方法,【交集、并集、补集的综合运算例2】已知全集U=x|x4,集合A=x|-2x3,B=x|-3x3,求UA,AB,U(AB),(UA)B.分析:可借助数轴分析求解.解:把全集U和集合A,B在数轴上表示(如图所示),由图可知UA=x|x-2,或3x4,AB=x|-2x3,U(AB)=x|x-2,或3x4,(UA)B=x|-3x-2,或x=3.,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.对于无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交、并、补的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点的“取”与“舍”.2.对于有限集,应先把集合中的元素一一列举出来,再结合交、并、补集的定义来求解,另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于Venn图来求解,这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练2集合A=x|-1x2,B=x|x1B.x|x1C.x|1x2D.x|1x2答案:D,探究一,探究二,探究三,思想方法,补集运算中的含参数问题【例3】(1)设全集U=2,3,a2+2a-3,A=|a+1|,2,UA=5,则a等于;(2)已知集合A=x|xa,B=x|1x2,且ARB=R,则实数a的取值范围是.解析:(1)由UA=5,知a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2.当a=-4时,U=2,3,5,A=3,2,满足UA=5;当a=2时,U=2,3,5,A=3,2,满足UA=5.所以a的值为-4或2.(2)RB=x|x1,或x2,由于ARB=R,如图所示,所以a2.答案:(1)-4或2(2)a2,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.由集合补集求有关参数问题的思路流程:2.含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决.,探究一,探究二,探究三,思想方法,已知集合A=x|2a-2xa,B=x|1x2,且ARB,求实数a的取值范围.解:易知RB=x|x1,或x2.ARB,分A=和A两种情况讨论.若A=,此时有2a-2a,a2.,a1.综上可知,实数a的取值范围为a|a1,或a2.,探究一,探究二,探究三,思想方法,补集思想的综合应用【典例】已知集合A=x|0x2,B=x|axa+3.(1)若(RA)BR,求a的取值范围;(2)若ABA,求a的取值范围.分析:本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解时可先将不相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:(1)A=x|0x2,RA=x|x2.设(RA)B=R,如图可知:a0,且a+32,即a0,且a-1,满足(RA)BR的实数a的取值范围是a0.(2)若AB=A,则AB,又A,当ABA时,a的取值范围为集合a|-1a0的补集,即a|a0.,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法点睛有些数学问题,若直接从正面解决,或解题思路不明朗,或需要考虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路,这就是补集思想的应用.(1)运用补集思想求参数范围的方法:否定已知条件考虑反面问题;求解反面问题对应的参数范围;将反面问题对应的参数范围取补集.(2)补集思想适用的情况:从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练已知集合A=x|x3,B=x|k-1x-1k,若AB,求k的取值范围.分析:AB时对应的k的取值范围不好直接求解,可考虑问题的反面:先求AB=时对应的k的取值范围,再取其“补集”,即可得AB时k的取值范围.解:由已知可得B=x|kxk+1,解得-6k2.令P=k|-6k2,则RP=k|k2.所以当AB时,k的取值范围是k2.,1.设U=R,A=x|x4,则UA等于()A.x|x4B.x|2x4C.x|2x4D.x|x2,或x4答案:C2.设集合I=0,1,2,3,4为全集,集合A=0,1,2,3,B=2,3,4,则IAIB等于()A.0B.0,1C.0,1,4D.0,1,2,3,4答案:C,3.有下列命题:若AB=U,则A=B=U;若AB=,则A=B=;若AB=U,则UAUB=;若AB=,则A=B=;若AB=,则UAUB=U;若AB=U,则A=B=U.其中不正确的有()A.0个B.2个C.4个D.6个解析:若集合A,B中有一个为U的真子集,那么ABU,所以A=B=U;若集合A,B中有一个不为空集,那么AB,所以A=B=;因为UAUB=U(AB),而AB=U,所以UAUB=U(AB)=;当集合A,B中只要有一个为空集或两个集合中没有共同的元素,就有AB=,所以不一定有A=B=;因为UAUB=U(AB),而AB=,所以UAUB=U(AB)=U;当AB=U时,有可能A=,B=U,所以不一定有A=B=U.所以不正确的为,共2个.答案:B,4.设全集为U,用集合A,B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分.,(1)_(2)_答案:(1)U(AB)(或UAUB)(2)UAB,6.设全集为U,已知集合A=1,3,5,7,9,UA=2,4,6,8,UB=1,4,6,8,9,求集合B.解:如图,借助Venn图,得U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,UB=1,4,6,8,9,B=2,3,5,7.,
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