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1.1.2瞬时速度与导数,平均变化率的概念：,一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点,则当x0时，商称作函数y=f(x)在区间x0，x0+x(或x0+x，x0)的平均变化率。,记x=x1x0,=f(x0+x)f(x0).,则y=y1y0,=f(x1)f(x0),1.式子中x、y的值可正、可负，但x值不能为0，y的值可以为0；,2变式,平均变化率,O,x,y,y=f(x),B,A,引例,即为物体运动的平均速度。,问题情境:,跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定t=2s时运动员的速度。,(1)计算运动员在2s到2.1s(t2,2.1)内的平均速度。,(2)计算运动员在2s到2+ts(t2,2+t)内的平均速度。,时间区间t平均速度1.9，20.1-12.611.99,20.01-13.0511.999,20.001-13.09511.9999,20.0001-13.099511.99999,20.00001-13.099951,该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。,设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为,就是物体在t0时刻的瞬时速度，即,所以当t0时，比值,瞬时速度,函数的瞬时变化率：,函数y=f(x)，在x0及其附近有意义，自变量在x=x0附近改变量为x,平均变化率为,f(x0+x)f(x0).,则函数值相应的改变y=,常数,常数称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率,上述过程记作,即,如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导这时，对于开区间(a,b)内每一个确定的值x，都对应着一个确定的导数这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作,例1.求y=x2在点x=1处的导数,解：,由定义求导数（三步法）,步骤:,变式1.求y=x2+2在点x=1处的导数,解：,（求极限时，若经整理后分母不含，则令其为0即可）,练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数在x=2处的导数.,例1火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？,解：火箭的运动方程为h(t)=100tgt2，,在t附近的平均变化率为,=100gtgt。,当t0时，上式趋近于100gt。可见t时刻的瞬时速度h(t)=100gt。,令h(t)=100gt=0，解得,所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0.,例3.求函数y=x2在点x=3处的导数。,解：因为y=(3+x)232=6x+(x)2.,所以,=6+x，,令x0，,6,所以函数y=x2在点x=3处的导数为6.,例4质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动，若质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值。,解：因为s=a(t+t)2+1(at2+1)=2att+a(t)2，,所以=2at+at，,当t0时，s=2at，,由题意知t=2时，s=8，即4a=8，解得a=2.,例5已知y=ax2+bx+c，求y及y|x=2。,解：y=a(x+x)2+b(x+x)+c(ax2+bx+c)=(2ax+b)x+a(x)2，,=(2ax+b)+ax，,当x0时，y=2ax+b，,当x=2时，y|x=2=4a+b。,练习题,1一物体的运动方程是s=3+t2，则在一小段时间2,2.1内相应的平均速度为（）A0.41B3C4D4.1,D,2设y=f(x)函数可导，则等于（）Af(1)B不存在Cf(1)D3f(1),C,3设，则等于（）ABCD,C,4若f(x)=x3，f(x0)=3，则x0的值是（）A1B1C1D,C,5设函数f(x)=ax3+2，若f(1)=3，则a=_。,1,6函数y=2mx+n的瞬时变化率是.,2m,7函数在x=1处的导数是.,小结：函数的瞬时变化率、导数函数f(x)在x0处的瞬时变化率就是在x=x0处的导数求导数的一般步骤,
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