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4.万有引力理论的成就,一、计算天体的质量,1.地球质量的计算:(1)依据:地球表面的物体,若不考虑地球自转,物体的重力等于地球对物体的万有引力,即mg=_。(2)结论:M=_,只要知道g、R的值,就可计算出地球的质量。,2.太阳质量的计算:(1)依据:质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行星与太阳间的万有引力充当向心力,即=_。(2)结论:M=_,只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量。,3.行星质量的计算:与计算太阳质量一样,若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r,可计算行星的质量M,公式是M=_。,二、发现未知天体1.海王星的发现:英国剑桥大学的学生_和法国年轻的天文学家_根据天王星的观测资料,利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日,德国的_在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星海王星。,亚当斯,勒维耶,伽勒,2.其他天体的发现:近100年来,人们在海王星的轨道之外又发现了_、阋神星等几个较大的天体。,冥王星,【思考辨析】(1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。()(2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。()(3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。(),(4)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力。()(5)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径,则可以求出太阳的质量。()(6)若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度,则可以求出太阳的质量。(),提示:(1)。人们依据万有引力定律计算的轨道发现的是海王星等,不是天王星。(2)。海王星的发现有力证实了万有引力定律的正确性。(3)。计算出海王星轨道的是亚当斯和勒维耶。(4)。地球表面的物体的重力一般小于地球对它的万有引力,忽略地球自转时,地球表面的物体的重力才等于地球对它的万有引力。,(5)。只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径,不能求出太阳的质量。(6)。由G=mv及v=r得M=,故若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度,则可以求出太阳的质量。,一天体质量和密度的计算【典例】(2018全国卷)2018年2月,我国500m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.6710-11Nm2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为,A.5109kg/m3B.51012kg/m3C.51015kg/m3D.51018kg/m3,【素养解读】,【正确解答】选C。星体自转的最小周期发生在其赤道上的物质所受向心力正好全部由引力提供时,根据牛顿第二定律:;又因为V=R3、=;联立可得=51015kg/m3,选项C正确。,【核心归纳】1.天体密度的计算:计算天体密度的基本思路:若天体的半径为R,则天体的密度=(1)将M=代入上式得:=。,(2)将M=代入上式得:=当卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径r等于天体半径R,则=,2.天体质量的计算:,【易错提醒】(1)利用=mg求天体的质量时,g是所求天体表面的重力加速度,且计算的前提是忽略了天体的自转。(2)由F引=F向求得的质量为中心天体的质量,而不是做圆周运动的天体的质量。,【过关训练】1.(2017北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是()A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期,C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离,【解析】选D。不考虑地球自转的情况下,在地球表面,重力等于万有引力,能计算出地球的质量;人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动时,又有v=,已知速度及周期时,联立可求得地球的质量;月球绕地球做圆周运动时,在已知周期和地月间距离的情况下,可,以求出地球的质量;地球绕太阳做圆周运动时,我们只能求出中心天体太阳的质量,不能求出地球的质量,故选D。,2.已知金星和地球的半径分别为R1、R2,金星和地球表面的重力加速度分别为g1、g2,则金星与地球的质量之比为(),【解析】选A。根据星球表面物体重力等于万有引力,即mg=,得M=,所以有,故A正确,B、C、D错误。,3.(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道半径为r,卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T,已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,则地球的质量可表示为(),【解析】选A、C。根据得,M=选项A正确、B错误;在地球的表面附近有mg=则M=选项C正确,选项D错误。,【补偿训练】1.有一星球X的密度与地球的密度相同,但它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍,则该星球的质量与地球质量的比值为()A.3B.27C.D.9,【解析】选B。在不考虑星球自转的时候,星球表面物体的重力等于万有引力,即=mg,故X星球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值又M=R3,所以B正确。,2.(多选)利用下列哪种数据,可以算出地球的质量(引力常量G已知)()A.已知地面的重力加速度gB.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期TC.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度vD.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T,【解析】选B、C、D。在地面附近重力近似等于万有引力,即若想计算地球的质量,需要知道g、R和G,故选项A错误;卫星绕地球运动时万有引力提供向心力,即故M=选项B、C正确;由选项D正确。,二天体运动的分析与计算考查角度1天体运动的定性分析问题【典例1】人造地球卫星以地心为圆心,做匀速圆周运动,下列说法正确的是A.半径越大,速度越小,周期越小B.半径越大,速度越小,周期越大C.所有卫星的速度均是相同的,与半径无关D.所有卫星的角速度均是相同的,与半径无关,【解析】选B。由万有引力提供向心力可知,故半径越大,速度越小,角速度越小,周期越大,故选项B正确。,【核心归纳】天体运动定性分析的方法设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。(1)由r越大,天体的v越小。(2)由r越大,天体的越小。,(3)由r越大,天体的T越大。(4)由r越大,天体的an越小。以上结论可总结为“一定四定,越远越慢,越远越小”。,考查角度2天体运动的定量计算问题【典例2】海王星的发现是万有引力定律应用的一个非常成功的范例,但是在发现海王星后,人们又发现海王星的轨道与理论计算值有较大的差异,于是沿用了发现海王星的方法经过多年的努力,才由美国的洛维尔天文台在理论计算出的轨道附近天区内找到了质量比理论值小得多的冥王星。冥王星绕太阳运行半径是40个天,文单位(地球和太阳之间的距离为一个天文单位)。求冥王星与地球绕太阳运行的线速度之比。,【正确解答】设太阳的质量为M,行星运行的线速度为v,行星的质量为m。根据F引=F向得对于这两个星体GM是一样的。答案:12,【核心归纳】1.解决天体运动问题的基本思路:一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供,所以研究天体时可建立基本关系式:=ma,式中a是向心加速度。,2.常用的关系式:(1)万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动的向心力。(2)mg=即gR2=GM,物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。,【过关训练】1.(2018江苏高考)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705km,之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000km,它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比,下列物理量中“高分五号”较小的是()A.周期B.角速度C.线速度D.向心加速度,【解析】选A。卫星围绕地球做匀速圆周运动,满足由此可推出,半径r越小,周期T越小,选项A正确,半径r越小,角速度、线速度v、向心加速度a越大,选项B、C、D错误。,2.“嫦娥三号”探测器是我国嫦娥工程二期中的一个探测器,是中国第一个月球软着陆的无人登月探测器。设“嫦娥三号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动,它距月球表面的高度为h,已知月球的质量为M、半径为R,引力常量为G,则卫星绕月球运动的向心加速度为多少?线速度为多少?,【解析】卫星做匀速圆周运动,设卫星质量为m,由万有引力提供向心力知解得答案:,【补偿训练】1.我国古代神话传说中:地上的“凡人”过一年,天上的“神仙”过一天。如果把看到一次日出就当作“一天”,某卫星的运行半径为月球绕地球运行半径的,则该卫星上的宇航员24h内在太空中度过的“天”数约为(已知月球的运行周期为27天)()A.1B.8C.16D.24,【解析】选B。根据天体运动的公式解得卫星运行的周期为3h,故24h内看到8次日出,B项正确。,2.在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C,某时刻恰好在同一过地心的直线上,如图所示,当卫星B经过一个周期时(),A.A超前于B,C落后于BB.A超前于B,C超前于BC.A、C都落后于BD.各卫星角速度相等,因而三颗卫星仍在同一直线上,【解析】选A。由可得T=2,故轨道半径越大,周期越大。当B经过一个周期时,A已经完成了一个多周期,而C还没有完成一个周期,所以选项A正确,B、C、D错误。,【拓展例题】考查内容:天体运动中的临界问题【典例】一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为(),【正确解答】选D。物体随天体一起自转,当万有引力全部提供向心力时,物体对天体的压力恰好为零,则选项D正确。,
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