资源描述
3.4二次函数3.4.1二次函数的图象与性质,中考数学(江苏专用),考点1二次函数的图象与性质,A组2014-2018年江苏中考题组,五年中考,1.(2018南通,9,3分)如图,等边ABC的边长为3cm,动点P从点A出发,以每秒1cm的速度,沿ABC的方向运动,到达点C时停止,设运动时间为x(s),y=PC2,则y关于x的函数图象大致为(),答案C过C作CDAB,则AD=1.5cm,CD=cm,当0x3,即点P在AB上时,AP=xcm,PD=|1.5-x|cm,此时y=PC2=+(1.5-x)2=x2-3x+9(0x3),对应的函数图象是开口向上的抛物线的一部分;当3x6时,即点P在线段BC上时,PC=(6-x)cm(3x6),此时y=(6-x)2=(x-6)2(3”或“”填空).,答案,解析抛物线y=x2-2ax+3的对称轴是直线x=a.aa+1a+2,A、B在对称轴右侧,且B在A的右侧.根据二次函数图象的性质知,b0,x=2或1+,点C的坐标为(2,-3)或(1+,3).,解题关键本题考查二次函数图象上点的特点,根据等边三角形的边长求高是解题关键.,8.(2014南京,16,2分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:,则当y5时,x的取值范围是.,答案0x4,解析由抛物线的对称性及题中表格可知,当x=0,x=4时,y=5,且抛物线开口向上,故当0x4时,y0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a-2b+c的值为.,答案0,解析点(4,0)关于对称轴x=1对称的点为(-2,0),当x=-2时,y=4a-2b+c=0.,解题关键利用数形结合思想,找出点(4,0)关于对称轴x=1对称的点为(-2,0)是解决本题的关键.,10.(2018苏州,25,8分)如图,已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点.直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.(1)求线段AD的长;(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.,解析(1)由x2-4=0解得x1=2,x2=-2,点A位于点B的左侧,A(-2,0),B(2,0),直线y=x+m经过点A,-2+m=0,m=2,D(0,2),AD=2.(2)解法一:根据题意可设新抛物线对应的函数表达式为y=x2+bx+2,y=x2+bx+2=+2-,C.直线CC平行于直线AD,并且经过点C(0,-4),直线CC对应的函数表达式为y=x-4,2-=-4,整理得b2-2b-24=0,解得b1=-4,b2=6,新抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+2或y=x2+6x+2.解法二:直线CC平行于直线AD,并且经过点C(0,-4),直线CC对应的函数表达式为y=x-4,新抛物线的顶点C在直线y=x-4上,设顶点C的坐标为(n,n-4),新抛物线对应的函数表达式为y=(x-n)2+n-4,新抛物线经过点D(0,2),n2+n-4=2,解得n1=-3,n2=2,新抛物线对应的函数表达式为y=(x+3)2-7或y=(x-2)2-2,即y=x2+6x+2或y=x2-4x+2.,解题关键本题是一道二次函数综合题,主要考查二次函数图象与x轴的交点、二次函数图象的顶点坐标、待定系数法求二次函数的解析式以及图象的平移.运用一元二次方程求图象的交点,运用二次函数的顶点坐标求函数解析式是这道题的解题关键.,11.(2018南通,27,12分)已知,正方形ABCD,A(0,-4),B(1,-4),C(1,-5),D(0,-5),抛物线y=x2+mx-2m-4(m为常数),顶点为M.(1)抛物线经过的定点坐标是,顶点M的坐标是(用m的代数式表示);(2)若抛物线y=x2+mx-2m-4(m为常数)与正方形ABCD的边有交点,求m的取值范围;(3)若ABM=45时,求m的值.,解析(1)y=x2+mx-2m-4=(x2-4)+m(x-2)=(x-2)(x+2+m),当x=2时,y=0,抛物线经过的定点坐标是(2,0).抛物线的解析式为y=x2+mx-2m-4,抛物线的对称轴为直线x=-=-,当x=-时,y=+m-2m-4=-m2-2m-4.故顶点M的坐标为.(2)当x=-时,y=-m2-2m-4,m=-2x,将m=-2x代y=-m2-2m-4.整理得y=-x2+4x-4,即抛物线的顶点在抛物线y=-x2+4x-4上运动,其对称轴为直线x=2,当抛物线顶点在直线x=2右侧,即m-4时,观察抛物线的顶点所在抛物线y=-x2+4x-4恰好过点A(0,-4),此时m=0,当抛物线y=x2+mx-2m-4过点C(1,-5)时,-5=1+m-2m-4,得m=2,抛物线y=x2+mx-2m-4(m为常数)与正方形ABCD的边有交点时m的范围为0m2.(3)由(2)知抛物线顶点M在抛物线y=-x2+4x-4上运动,当点M在线段AB上方时,过点B且使ABM=45的直线的解析式为y=-x-3,从而-x2+4x-4=-x-3,解得x1=(舍去),x2=,故m=-5+,当点M在线段AB下方时,过点B且使ABM=45的直线解析式为y=x-5,与y=-x2+4x-4联立,得-x2+4x-4=x-5,解得x1=(舍去),x2=,故m=-3+,m的值为-5+或-3+.,易错警示本题考查含有字母参数的二次函数图象及其性质,通过因式分解可求出定点坐标,解答过程中注意数形结合,要注意对M的位置分类讨论.,12.(2015镇江,28,10分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点(0,3),且当x=1时,y有最小值2.(1)求a、b、c的值;(2)设二次函数y=k(2x+2)-(ax2+bx+c)(k为实数),它的图象的顶点为D.当k=1时,求二次函数y=k(2x+2)-(ax2+bx+c)的图象与x轴的交点坐标;请在二次函数y=ax2+bx+c与y=k(2x+2)-(ax2+bx+c)的图象上各找出一个点M、N,不论k取何值,这两个点始终关于x轴对称.直接写出点M、N的坐标(点M在点N的上方);过点M的一次函数y=-x+t的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于另一个点P,当k为何值时,点D在NMP的平分线上?当k取-2,-1,0,1,2时,通过计算,得到对应的抛物线y=k(2x+2)-(ax2+bx+c)的顶点分别为(-1,-6),(0,-5),(1,-2),(2,3),(3,10).请问:顶点的横、纵坐标是变量吗?纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的?,解析(1)由题意知y=a(x-1)2+2,将(0,3)代入,得a=1,则y=(x-1)2+2,即y=x2-2x+3,a=1,b=-2,c=3.(2分)(2)当k=1时,y=-x2+4x-1.令y=0,则-x2+4x-1=0,解得x=2,所求交点坐标为(2+,0),(2-,0).(3分)M(-1,6),N(-1,-6).(4分)y=-x+t的图象经过M(-1,6),得t=,y=-x+,则A(7,0).设MN与x轴的交点为E,MNx轴,E点的横坐标为-1,AE=8.又ME=6,MA=10.如图,设MD交AE于点B,作BCAM于点C,思路分析(1)由x=1时,y有最小值2,知顶点坐标为(1,2),又图象过(0,3),从而可求a、b、c的值.(2)求k=1,y=0时,x的值;关于x轴对称的两点横坐标相同,纵坐标相反,令-(ax2+bx+c)=k(2x+2)-(ax2+bx+c)求解x即可;利用角平分线的性质及三角形相似求解;如何变化,即随x的增大y的变化.,13.(2015连云港,27,14分)如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y=x2交于A,B两点,其中点A的横坐标是-2.(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标;(2)在x轴上是否存在点C,使得ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;(3)过线段AB上一点P,作PMx轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,1),当点M的横坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?最大值是多少?,由A(-2,1),B(8,16)可求得AB2=325.设点C(m,0),同理可得,AC2=(m+2)2+12=m2+4m+5,BC2=(m-8)2+162=m2-16m+320.若BAC=90,则AB2+AC2=BC2,即325+m2+4m+5=m2-16m+320.所以m=-.若ACB=90,则AB2=AC2+BC2,即325=m2+4m+5+m2-16m+320,化简得m2-6m=0,解之得m=0或m=6.若ABC=90,则AB2+BC2=AC2,即m2-16m+320+325=m2+4m+5,所以m=32.所以存在满足题意的点C,点C的坐标为,(0,0),(6,0),(32,0).(10分)(3)设M,如图2,设直线MP与y轴交于点Q,在RtMQN中,由勾股定理得MN=a2+1.,图2又因为点P与点M纵坐标相同,令x+4=a2,得x=,所以点P的横坐标为.所以MP=a-.所以MN+3MP=a2+1+3=-a2+3a+9=-(a-6)2+18.又因为268,所以当a=6时,-a2+3a+9取到最大值18.所以当点M的横坐标为6时,MN+3MP的长度最大,最大值是18.(14分)(备注:如有其他解法,只要正确,均可参照给分),14.(2014南京,24,8分)已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?,解析(1)证法一:因为(-2m)2-4(m2+3)=-120,所以该函数的图象开口向上.又因为y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+33,所以该函数的图象在x轴的上方.所以不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.(4分)(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3.把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点.所以把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.(8分),1.(2017徐州,8,3分)若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是()A.b1C.0b1D.b1,答案A函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,解得b1且b0.故选A.,2.(2017镇江,8,2分)若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,则实数n=.,答案4,解析二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个交点,=b2-4ac=(-4)2-4n=0,则n=4.,考点2二次函数与一元二次方程之间的联系,3.(2016宿迁,8,3分)若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为()A.x1=-3,x2=-1B.x1=1,x2=3C.x1=-1,x2=3D.x1=-3,x2=1,答案C由题意得对称轴为直线x=1,所以抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),所以关于x的方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1,x2=3.故选C.,4.(2017苏州,8,3分)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为()A.x1=0,x2=4B.x1=-2,x2=6C.x1=,x2=D.x1=-4,x2=0,答案A把(-2,0)代入二次函数解析式y=ax2+1中,解得a=-,把a=-代入a(x-2)2+1=0,解得x1=0,x2=4.,思路分析根据函数图象上的点满足函数解析式求出二次项系数,然后解方程即可.,一题多解本题还可以利用二次函数图象的对称性来解决.因为二次函数y=ax2+1的图象关于y轴对称,且过点(-2,0),所以过点(2,0),因为y=a(x-2)2+1的图象是由二次函数y=ax2+1的图象向右平移两个单位得到的,故函数y=a(x-2)2+1的图象过点(0,0)、(4,0),所以方程a(x-2)2+1=0的解是x1=0,x2=4.,5.(2015苏州,8,3分)若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为()A.x1=0,x2=4B.x1=1,x2=5C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=5,答案D设二次函数y=x2+bx的图象与x轴交点的横坐标为x1、x2,则x1+x2=-b,由题意知函数图象的对称轴为直线x=2,则=2,所以x1+x2=4,得b=-4.代入方程得x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,故选D.,6.(2018徐州,27,8分)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).(1)求该函数的关系式;(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A、B,求OAB的面积.,解析(1)根据题意可设二次函数的关系式为y=a(x+1)2+4,将B(2,-5)代入得a=-1,该函数的解析式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为(0,3),令y=0,得-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1,故二次函数图象与x轴的交点为(-3,0),(1,0).(3)设原二次函数图象与x轴的交点为M、N(M在N的左侧),由(2)知:M(-3,0),N(1,0),当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位,故A(2,4),B(5,-5),SOAB=(2+5)9-24-55=15.,思路分析(1)已知抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B点坐标代入,即可求出二次函数的解析式.(2)令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴的交点坐标.(3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位长度,由此可求出A、B的坐标.从而利用割补法求出OAB的面积.,解后反思本题考查了用待定系数法求抛物线解析式,运用一元二次方程求二次函数图象与坐标轴的交点,并且考查了利用割补法求面积.,7.(2017南京,26,8分)已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数).(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是()A.0B.1C.2D.1或2(2)求证:无论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上;(3)当-2m3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.,思路分析(1)根据根的判别式=b2-4ac,判断函数图象与x轴公共点的个数;(2)先求顶点坐标,将该点横坐标代入y=(x+1)2得到纵坐标,从而得到结论;(3)根据二次函数性质进行分类讨论,进而求出顶点纵坐标的取值范围.,解后反思这是一道二次函数的综合题,主要考查二次函数的图象和性质,二次函数与一元二次方程的关系,点是否在二次函数图象上等知识点,属于难题.,B组20142018年全国中考题组,考点1二次函数的图象与性质,1.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或2,答案Dy=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a+1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去).当0a1时,函数y=x2-2x+1在x=1处取得最小值,最小值为0,不合题意.综上,a的值为-1或2,故选D.,2.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:抛物线经过点(1,0);方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;-3a+b0.a0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3a0,0b3.-30,a0,且公共点的坐标为(1,b),代入抛物线方程可得b=a+b+c,所以c=-a,所以一次函数为y=bx-a2,其图象过第一、三、四象限,故选B.,解题关键通过公共点坐标(1,b)得出c=-a是解题的关键.,5.(2015甘肃兰州,3,4分)在下列二次函数中,其图象的对称轴为x=-2的是()A.y=(x+2)2B.y=2x2-2C.y=-2x2-2D.y=2(x-2)2,答案A根据二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的图象的对称轴为直线x=h,知只有A选项符合题意.,6.(2015辽宁沈阳,8,3分)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象可能是(),答案D二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象的顶点坐标为(h,0),由于该点的纵坐标为0,所以该点在x轴上,符合这一条件的图象只有D.故选D.,7.(2015福建福州,10,3分)已知一个函数图象经过(1,-4),(2,-2)两点,在自变量x的某个取值范围内,都有函数值y随x的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是()A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数,答案D易知经过点(1,-4),(2,-2)的直线不经过原点,所以所求函数不是正比例函数,A不符合;若为一次函数或反比例函数,则在自变量x的某个取值范围内,函数值y随x的增大而增大,所以B、C不符合题意;只有D正确,故选D.,8.(2015甘肃兰州,1,4分)下列函数解析式中,一定为二次函数的是()A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1D.y=x2+,答案C根据二次函数的定义:形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a0)的函数叫做二次函数,结合各选项知,选C.,9.(2015甘肃兰州,13,4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,点C在y轴的正半轴上,且OA=OC,则()A.ac+1=bB.ab+1=cC.bc+1=aD.以上都不是,答案A由题意得点C的坐标为(0,c),OA=OC,点A的坐标为(-c,0).将(-c,0)代入二次函数解析式,得ac2-bc+c=0,c0,ac-b+1=0,即ac+1=b.故选A.,10.(2014甘肃兰州,11,4分)把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为()A.y=-2(x+1)2+2B.y=-2(x+1)2-2C.y=-2(x-1)2+2D.y=-2(x-1)2-2,答案C把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,得到函数y=-2(x-1)2的图象,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为y=-2(x-1)2+2,故选C.,11.(2014山东青岛,8,3分)函数y=与y=-kx2+k(k0)在同一直角坐标系中的图象可能是(),答案B当k0时,反比例函数y=的图象在第一、三象限内,二次函数y=-kx2+k的图象开口向下,与y轴的交点在x轴上方,选项B符合;当k0时,反比例函数y=的图象在第二、四象限内,二次函数y=-kx2+k的图象开口向上,与y轴的交点在x轴下方,四个选项均不符合.故选B.,评析此题是函数综合题.利用函数图象的性质来解题.由于k的不确定性,本题也是个分类讨论的题目.,12.(2015河南,12,3分)已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.,答案y2y1y3,解析A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在抛物线y=(x-2)2-1上,y1=3,y2=5-4,y3=15.5-4315,y2y1y3.,一题多解设A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3.y=(x-2)2-1,对称轴为直线x=2,d1=2,d2=2-,d3=4,2-0,y20.其中正确的结论是(填写序号).,答案,解析因为抛物线的对称轴是直线x=1,所以-=1,-b=2a,2a+b=0,故正确;由题中图象知,当x=-1时,y=a-b+c0,又-0,所以b0,故正确.,方法指导由抛物线在直角坐标系中的位置确定a、b、c的符号:抛物线的开口方向决定了a的符号,当开口向上时,a0,当开口向下时,a0,当交点在y轴负半轴上时,c0时,如图1.,图1将x=5代入抛物线的解析式得y=12a,12a4,a.a4,a-.若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.,图3将点(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a,a=-1.综上所述,a或a0,设此方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-=-+0,故选A.,3.(2016宁夏,10,3分)若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是.,答案m0,解得m1.所以m的取值范围是m1.,4.(2018云南,20,8分)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3),B两点.(1)求b、c的值;(2)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明理由.,解析(1)二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3)、B两点,解得b=,c=3.(4分)(2)y=-x2+bx+c=-x2+x+3.由-x2+x+3=0得x2-6x-16=0,解得x=-2或x=8.(6分)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,公共点的坐标为(-2,0),(8,0).(8分),思路分析(1)将A、B的坐标分别代入解析式,列方程组求得b、c.(2)由(1)得二次函数解析式,令y=0,解方程即可.,考查内容本题主要考查二次函数的性质及其与一元二次方程的关系,熟练地解方程(组)是解决本题的关键.,5.(2018陕西,24,10分)已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标,并求ABC的面积;(2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L,且L与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C,要使ABC和ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.,思路分析(1)令y=0,求得点A,点B坐标;令x=0,求得点C坐标,然后利用三角形面积公式求出ABC的面积;(2)将抛物线向左或向右平移,AB=AB,要使ABC和ABC的面积相等,则点C的坐标为(0,6)或(0,-6),然后根据抛物线向左或向右平移顶点纵坐标不变,求出满足条件的抛物线的函数表达式.,解题关键二次函数与三角形相结合的题的本质为点的坐标表示,其中多涉及二次函数图象的性质,象限中点的横、纵坐标的正负,用点的坐标表示线段长度等.根据题意准确找出点C的坐标是解决本题的关键.,6.(2018吉林,26,10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2ax-3a(a0)与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,顶点为D,直线DC与x轴相交于点E.(1)当a=-1时,抛物线顶点D的坐标为,OE=;(2)OE的长是否与a值有关,说明你的理由;(3)设DEO=,4560,求a的取值范围;(4)以DE为斜边,在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE.设P(m,n),直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围.,解析(1)(-1,4);3.(2分)(2)OE的长与a值无关.理由:y=ax2+2ax-3a,C(0,-3a),D(-1,-4a).直线CD的解析式为y=ax-3a.(4分)当y=0时,x=3.OE=3.OE的长与a值无关.(5分)(3)当=45时,在RtOCE中,OC=OE.OE=3,OC=-3a,-3a=3.a=-1.(6分)当=60时,在RtOCE中,OC=OE.OE=3,OC=-3a,-3a=3.(7分)a=-.当4560时,-a-1.(8分)(4)n=-m-1(m1).(如图)(10分)评分说明:1.第(2)题,证明正确,但不先写结论不扣分;,2.第(4)题,解析式正确给1分,自变量取值范围正确给1分.,思路分析(1)将a=-1代入抛物线方程,然后利用顶点坐标公式求顶点D的坐标,令x=0可求C点坐标,从而求出直线CD的方程,令y=0即可求出OE;(2)求出C、D点坐标,从而可求直线CD的表达式,令y=0,即可判断;(3)分别求出=45和60时a的值,即可确定a的取值范围;(4)如解析图,由P(m,n)及二次函数对称轴为x=-1可知PM=-1-n,PN=m,由DPE=PMD=90,PMAE可推出PDM=PEN,从而可推出RtDPMRtEPN,可得PM=PN,问题解决.,7.(2015浙江宁波,23,10分)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;(2)若该抛物线的对称轴为直线x=.求该抛物线的函数解析式;把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?,解析(1)证明:y=(x-m)2-(x-m)=(x-m)(x-m-1),(2分)令y=0,得x1=m,x2=m+1.mm+1,抛物线与x轴一定有两个公共点(m,0),(m+1,0).(4分)(2)y=(x-m)(x-m-1)=x2-(2m+1)x+m(m+1),抛物线的对称轴为直线x=-=,解得m=2,(6分)抛物线的函数解析式为y=x2-5x+6.(8分)y=x2-5x+6=-,该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.(10分),8.(2014浙江宁波,23,10分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.,评析本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式,以及一次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题,属中档题.,C组教师专用题组,考点1二次函数的图象与性质,1.(2018内蒙古呼和浩特,10,3分)若满足2成立,则实数m的取值范围是()A.m恒成立,只需抛物线与双曲线的交点的横坐标x即可,将x=代入y=,得y=4,将代入y=2x2-x-m,解得m=-4.抛物线越往上平移越符合题意,m-4.,解题关键解决本题的关键是要将不等式的问题转化为函数图象的问题来解决,同时要注意本题中二次函数的常数项为-m,所以最后在判断m的取值范围时不要写反.,2.(2017连云港,7,3分)已知抛物线y=ax2(a0)过A(-2,y1)、B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是()A.y10y2B.y20y1C.y1y20D.y2y10,答案C抛物线y=ax2(a0),A(-2,y1)关于y轴对称的点的坐标为(2,y1),当x0时,y随x的增大而增大.又a0,012,0y2y1.故选C.,3.(2017盐城,6,3分)如图,将函数y=(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m)、B(4,n)平移后的对应点分别为点A、B.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象对应的函数表达式是()A.y=(x-2)2-2B.y=(x-2)2+7C.y=(x-2)2-5D.y=(x-2)2+4,答案D函数y=(x-2)2+1的图象过点A(1,m),B(4,n),m=(1-2)2+1=,n=(4-2)2+1=3,A,B(4,3),过A作ACx轴,交BB的延长线于点C,则C,AC=4-1=3.曲线段AB扫过的面积为9,ACAA=3AA=9,AA=3,即将函数y=(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象,新图象对应的函数表达式是y=(x-2)2+4.故选D.,4.(2014甘肃兰州,6,4分)抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是()A.y轴B.直线x=-1C.直线x=1D.直线x=-3,答案C抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是直线x=1,故选C.,5.(2014广西南宁,10,3分)如图,已知二次函数y=-x2+2x,当-11B.-10D.-1a0;因为对称轴为直线x=1,所以-=1,得b=-2a0,错误;由题图可知抛物线与x轴交于点(-1,0),且对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),所以当x=3时,y=0,即9a+3b+c=0,所以10a+3b+c=a0,正确;由抛物线的对称性可知,点(-3,y2)关于对称轴的对称点是(5,y2),当x1时,y随x的增大而增大,因为45,所以y1y2,错误;由题意知抛物线的解析式可以为y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,结合y=ax2+bx+c可知c=-3a,即-=3.当x=3时,y=a32-2a3-3a=0,所以抛物线一定过点(3,0),即过点,正确;因为b=-2a,所以am2+bm+a=am2-2am+a=a(m-1)20,正确.综上所述,正确.,7.(2016陕西,24,10分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点.抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1,3)和N(3,5).(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况;(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(-2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形.请你写出平移过程,并说明理由.,解析(1)由题意,得解之,得抛物线的表达式为y=x2-3x+5.(2分)=(-3)2-415=9-20=-110,抛物线与x轴无交点.(3分)(2)AOB是等腰直角三角形,A(-2,0),点B在y轴上,点B的坐标为(0,2)或(0,-2).(5分)设平移后的抛物线的表达式为y=x2+mx+n.当抛物线过点A(-2,0),B1(0,2)时,解之,得平移后的抛物线为y=x2+3x+2.(7分)该抛物线顶点坐标为.而原抛物线顶点坐标为,将原抛物线先向左平移3个单位,再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线.(8分)当抛物线过点A(-2,0),B2(0,-2)时,解之,得平移后的抛物线为y=x2+x-2.(9分)该抛物线顶点坐标为.而原抛物线顶点坐标为,将原抛物线先向左平移2个单位,再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线.(10分),评析本题考查了二次函数的图象和性质,用待定系数法求二次函数的解析式,图象的平移,属于中等难度题.,8.(2016河南,21,10分)某班“数学兴趣小组”对函数y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:,其中,m=;(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分;,(3)观察函数图象,写出两条函数的性质;(4)进一步探究函数图象发现:函数图象与x轴有个交点,所以对应的方程x2-2|x|=0有个实数根;方程x2-2|x|=2有个实数根;关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是.,解析(1)0.(2)正确补全图象(图略).(3)可从函数的最值,增减性,图象的对称性等方面阐述.答案不唯一,合理即可.(4)3;3.2.-1x20时,y1b+3,即b0.当抛物线C2经过点B时,a=2,此时抛物线C2与线段AB有两个公共点,不符合题意.当抛物线C2经过点A时,a=.,结合函数的图象可知,a的取值范围为a2.,解后反思本题考查了对称点的坐标、函数解析式的确定以及临界点问题,解决最后一问的关键是画图.属中档题.,14.(2015黑龙江哈尔滨,27,10分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=kx+1(k0)与x轴交于点A,与y轴交于点C,过点C的抛物线y=ax2-(6a-2)x+b(a0)与直线AC交于另一点B,点B坐标为(4,3).(1)求a的值;(2)点P是射线CB上的一个动点,过点P作PQx轴,垂足为点Q,在x轴上点Q的右侧取点M,使MQ=,在QP的延长线上取点N,连接PM,AN,已知tanNAQ-tanMPQ=,求线段PN的长;(3)在(2)的条件下,过点C作CDAB,使点D在直线AB下方,且CD=AC,连接PD,NC,当以PN,PD,NC的长为三边长构成的三角形面积是时,在y轴左侧的抛物线上是否存在点E,连接NE,PE,使得ENP与以PN,PD,NC的长为三边长的三角形全等?若存在,求出E点坐标;若不存在,请说明理由.,解析(1)如图1,当x=0时,由y=kx+1得y=1,C(0,1),(1分)抛物线y=ax2-(6a-2)x+b经过C(0,1),B(4,3),a=.(2分)图1,(2)如图2,把B(4,3)代入y=kx+1中,3=4k+1,k=,图2y=x+1,令y=0,得0=x+1,x=-2,A(-2,0),(3分)OA=2,C(0,1),OC=1,tanCAO=,PQx轴,tanPAQ=,=,(4分)设PQ=m,则QA=2m,tanNAQ-tanMPQ=,-=,MQ=,-=,PN=.(5分)(3)在y轴左侧抛物线上存在点E,使得ENP与以PN,PD,NC的长为三边长的三角形全等.如图3,过点D作DFCO于点F,图3DFCF,CDAB,CDF+DCF=90,DCF+ACO=90,CDF=ACO,COx轴,DFCO,AOC=CFD=90,CA=CD,ACOCDF,CF=AO=2,DF=CO=1,OF=CF-CO=1,(6分)在CF上截取CH=PN,连接DH,PH,CH=PN=,HF=CF-CH=,DH=,DH=PN.(7分)CH=PN,CHPN,四边形CHPN是平行四边形,CN=HP,PHD是以PN,PD,NC的长为三边长的三角形,SPHD=.延长FD,PQ交于点G,PQy轴,G=180-CFD=90,S四边形HFGP=SHFD+SPHD+SPDG,(HF+PG)FG=HFFD+DGPG,15.(2014河南,23,11分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,直线y=-x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PFx轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)若PE=5EF,求m的值;(3)若点E是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.,解析(1)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,抛物线的解析式为y=-x2+4x+5.(3分)(2)点P的横坐标为m,P(m,-m2+4m+5),E,F(m,0).点P在x轴上方,要使PE=5EF,点P应在y轴右侧,00.连接OP,如图1,则四边形ABPC的面积S=SAOC+SPOC+SBOP(5分),=1+t+(-t2+t+2)=-t2+2t+3=-(t-1)2+4.当t=1时,S的值最大,此时点P的坐标为(1,2).(6分)(3)存在点G,使得CMG的周长最小.(7分)点A(-1,0)、C(0,2),直线AC的解析式为y=2x+2.如图2,过点D作DFx轴于点F,点D是AC的中点,点D,由AOCDFE,得EF=OC=2,OE=,E.直线DE的解析式为y=-x+.(8分)点A、C关于直线DE对称,连接AM交DE于点G,此时CMG的周长最小,(9分)又点M,直线AM的解析式为y=x+,由得点G的坐标为.(10分),评析本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,用坐标表示三角形面积的方法以及用轴对称思想求三角形周长的最小值,本题计算量较大,属难题.,17.(2017上海,24,12分)已知在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(2,2),对称轴是直线x=1,顶点为B.(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标;(2)点M在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为m,连接AM,用含m的代数式表示AMB的余切值;(3)将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点C在x轴上.原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q,如果OP=OQ,求点Q的坐标.,解析(1)依题意,得所求表达式为y=-x2+2x+2.将x=1代入上式,得y=-1+2+2=3.顶点B的坐标为(1,3).(2)过点A作抛物线对称轴的垂线,垂足为N.则AN=1,MN=m-2.cotAMB=m-2.,(3)原二次函数配方得:y=-(x-1)2+3,则平移后的抛物线的解析式为y=-(x-1)2,即y=-x2+2x-1.设P的横坐标为t,则P(t,-t2+2t+2),Q(t,-t2+2t-1).OP=OQ,x轴垂直平分PQ,-t2+2t+2=-(-t2+2t-1),解得t=,-t2+2t-1=-.Q或.,18.(2017广东,23,9分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式;(2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,求sinOCB的值.,解析(1)把A(1,0),B(3,0)代入抛物线y=-x2+ax+b得解得抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.(2)当点P是线段BC的中点时,易得点P的横坐标为,当x=时,y=,点P的坐标为.(3)由(2)得点C的坐标为,OC=,又OB=3,BC=.sinOCB=.,思路分析(1)将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式,求解即可;(2)利用三角形中位线的性质得点P的横坐标,因为点P在抛物线上,将其横坐标代入抛物线的解析式,得点P的纵坐标;(3)由(2)可得点C的坐标,进而可得OC的长,再利用勾股定理求BC的长,进而求得sinOCB的值.,19.(2017山西,23,14分)如图,抛物线y=-x2+x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动,同时,点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动,连接PQ.过点Q作QDx轴,与抛物线交于点D,与BC交于点E.连接PD,与BC交于点F.设点P的运动时间为t秒(t0).(1)求直线BC的函数表达式;(2)直接写出P,D两点的坐标(用含t的代数式表示,结果需化简);在点P,Q运动的过程中,当PQ=PD时,求t的值;(3)试探究在点P,Q运动的过程中,是否存在某一时刻,使得点F为PD的中点.若存在,请直接写出此时t的值与点F的坐标;若不存在,请说明理由.,解析(1)令y=0,得-x2+x+3=0.解得x1=-3,x2=9,点B的坐标为(9,0).(1分)令x=0,得y=3,点C的坐标为(0,3).(2分)设直线BC的函数表达式为y=kx+b(k0),由B,C两点的坐标得(3分)解得直线BC的函数表达式为y=-x+3.(4分)(2)P,D.(6分)过点P作PGx轴于点G,PHQD于点H.,QDx轴,四边形PGQH是矩形,HQ=PG.(7分)PQ=PD,PHQD,DQ=2HQ=2PG.(8分)P,D两点的坐标分别为,9-2t,-t2+t,-t2+t=2t,(9分)解得t1=0(舍去),t2=,当PQ=PD时,t的值为.(10分)(3)存在.t=3,(12分)F.(14分),思路分析(1)先求出点B,C的坐标,再利用待定系数法求直线BC的解析式;(2)过点P作PKx轴于点K,由AO=3,OC=3,得到CAO=60,从而APK=30,又AP=t,AK=t,PK=t,即可得到P的坐标.由OQ=9-2t,得到点D的横坐标,由点D在抛物线上,得到点D的纵坐标;过点P作PGx轴于点G,PHQD于点H,得到四边形PGQH是矩形,从而有DQ=2HQ=2PG,即可得到关于t的方程,解之即可;(3)假设存在点F为PD的中点,由中点的特征结合P、D两点的坐标,用含t的式子表示出点F的坐标,将其代入直线BC建立方程t2-6t+
展开阅读全文