资源描述
第2课时等比数列前n项和的性质及应用,第2章2.3.3等比数列的前n项和,学习目标1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.3.会用错位相减法求和,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一等比数列前n项和公式的函数特征,思考若数列an的前n项和Sn2n1，那么数列an是不是等比数列？若数列an的前n项和Sn2n11呢？,答案当Sn2n1时，当Sn2n11时，,梳理当公比q1时，设A，等比数列的前n项和公式是SnA(qn1)即Sn是n的指数型函数当公比q1时，因为a10，所以Snna1，Sn是n的正比例函数,知识点二等比数列前n项和的性质,思考若公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列吗？,答案由题意可知，Sn，S2nSn，S3nS2n都不为0，设an的公比为q，则Sna1a2an，S2nSnan1an2a2na1qna2qnanqnqnSn，S3nS2na2n1a2n2a3nan1qnan2qna2nqnqn(S2nSn)，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，公比为qn.,梳理等比数列an前n项和的三个常用性质：(1)数列an为公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列(2)若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，mN*)(3)若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1,思考辨析判断正误1.对于公比q1的等比数列an的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数.()2.当an为等差数列，bn为公比不是1的等比数列时，求数列的前n项和，适用错位相减法.(),题型探究,例1已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零且不等于1的常数)，求证：数列an为等比数列.,类型一等比数列前n项和公式的函数特征应用,证明,证明当n2时，anSnSn1(a1)an1；当n1时，a1a1，满足上式，an(a1)an1，nN*.数列an是等比数列.,跟踪训练1若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.,解析显然q1，此时应有SnA(qn1)，,答案,解析,类型二等比数列前n项和的性质,命题角度1连续n项之和问题例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，,证明,证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，,方法二根据等比数列的性质有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，,反思与感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质整体处理.,解答,跟踪训练2在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.,解由等比数列前n项和的性质得，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，12248(S3n60)，解得S3n63.,命题角度2不连续n项之和问题,解析a2a4a6a8a1qa3qa5qa7qq(a1a3a5a7)，,3,答案,解析,反思与感悟注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快.,跟踪训练3设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列；数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则_.,126,是首项为b2，公比为2的等比数列.,答案,解析,解析2，,类型三错位相减法求和,解答,反思与感悟一般地，如果数列an是等差数列，bn是公比不为1的等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.,跟踪训练4求和：Snx2x23x3nxn(x0).,解答,当x1时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1,达标检测,答案,1.已知等比数列an的公比为2，且其前5项和为1，那么an的前10项和为_.,1,2,3,4,解析设an的公比为q，由题意，q2，a1a2a3a4a51，则a6a7a8a9a10q5(a1a2a3a4a5)q52532，S1013233.,解析,33,答案,解析,2.已知等比数列an的前n项和为Snx3n1，则x的值为_.,1,2,3,4,当n2时，anSnSn12x3n2，an是等比数列，n1时也应适合an2x3n2，,答案,解析,3.已知等差数列an的前n项和Snn2bnc，等比数列bn的前n项和Tn3nd，则向量a(c，d)的模为_.,1,2,3,4,1,解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c0，d1，所以向量a(c，d)的模为1.,答案,1,2,3,4,4.设等比数列an的前n项和为Sn，若q2，S10036，则a1a3a99_.,12,解析,解析设a1a3a99S，则a2a4a1002S.S10036，3S36，S12，a1a3a5a9912.,1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；若an是等比数列，且an0，则lgan构成等差数列.2.等比数列前n项和中用到的数学思想：(1)分类讨论思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a11或a10,0q1时为递减数列；当q0时为摆动数列；当q1时为常数列.,规律与方法,
展开阅读全文