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第四章图形的认识4.2三角形及其全等,中考数学(安徽专用),A组20142018年安徽中考题组,五年中考,1.(2015安徽,8,4分)在四边形ABCD中,A=B=C,点E在边AB上,AED=60,则一定有()A.ADE=20B.ADE=30C.ADE=ADCD.ADE=ADC,答案D由三角形内角和等于180,AED=60,可得ADE=120-A,由四边形内角和为360,A=B=C,得ADC=360-3A,所以ADE=ADC,故选D.,解题关键由三角形内角和为180与四边形内角和为360找出ADE和ADC分别与A之间的关系是解题的关键.,思路分析由三角形内角和为180,AED=60可得ADE=120-A,再由四边形内角和为360,A=B=C可得ADC=360-3A,从而得到ADE与ADC的关系.,2.(2014安徽,23,14分)如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PMAB交AF于M,作PNCD交DE于N.(1)MPN=;求证:PM+PN=3a;(2)如图2,点O是AD的中点,连接OM、ON.求证:OM=ON;(3)如图3,点O是AD的中点,OG平分MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形,并说明理由.图1,图2图3,解析(1)60.(2分)证明:如图a,连接BE交MP于H点.在正六边形ABCDEF中,PNCD,又BECDAF,所以BEPNAF.又PMAB,所以四边形AMHB、四边形HENP为平行四边形,BPH为等边三角形.所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.(5分)图a(2)证明:如图b,连接BE,由(1)知AM=EN.又AO=EO,MAO=NEO=60,所以MAONEO.所以OM=ON.(9分)图b(3)四边形OMGN是菱形.理由如下:,图c,如图c,连接OE、OF,由(2)知MOA=NOE.因为AOE=120,所以MON=AOE-MOA+NOE=120.(11分)由于OG平分MON,所以MOG=60,又FOA=60,所以MOA=GOF.又AO=FO,MAO=GFO=60,所以MAOGFO.所以MO=GO.又MOG=60,所以MGO为等边三角形.同理可证NGO为等边三角形,所以四边形OMGN为菱形.(14分),思路分析对于(1)中的,连接BE交MP于H点,先证BPH为等边三角形,然后证明PM+PN=AB+BE即可;对于(2),连接BE,则BE过O点,下面只需证明MAONEO即可;对于(3),连接OE、OF,由(2)知MOA=NOE,下面只需证明MAOGFO即可得MO=GO,又由MOG=60,得MGO为等边三角形,同理可证NGO为等边三角形,问题得解.,评析本题是压轴题,综合性较强,每个小问都需作出辅助线,然后利用数形结合、转化思想进行求解,如(1)中的,将证明PM+PN=3a转化为AB+BE=3a,(3)中将问题转化为证明MGO与NGO都为等边三角形,对学生的思维能力要求较高.,考点一三角形的相关概念,B组20142018年全国中考题组,1.(2017山东泰州,3,3分)三角形的重心是()A.三角形三条边上中线的交点B.三角形三条边上高线的交点C.三角形三条边垂直平分线的交点D.三角形三条内角平分线的交点,答案A三角形的重心是三角形三条边上中线的交点.,2.(2017湖南长沙,6,3分)一个三角形三个内角的度数之比为123,则这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形,答案B根据三角形的内角和为180,可知三个角分别为30、60、90,因此这个三角形是直角三角形.故选B.,3.(2016湖南长沙,7,3分)若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是()A.6B.3C.2D.11,答案A设第三边长为x,根据三角形的三边关系,可得7-3x7+3,即4x10,故选A.,4.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10 x+21=0的根,则三角形的周长为.,答案16,解析x2-10 x+21=(x-3)(x-7)=0,x1=3,x2=7,3+3=6,3不能作为该三角形的第三边长,三角形的第三边长为7,三角形的周长为3+6+7=16.,5.(2017陕西,12A,3分)如图,在ABC中,BD和CE是ABC的两条角平分线.若A=52,则1+2的度数为.,答案64,解析BD平分ABC,CE平分ACB,1=ABC,2=ACB,又ABC+ACB=180-A,21+22=180-A=128,1+2=64.,6.(2014湖南郴州,14,3分)如图,在ABC中,若E是AB的中点,F是AC的中点,B=50,则AEF=.,答案50,解析因为E、F分别为AB、AC的中点,所以EFBC,所以AEF=B=50.,7.(2016江苏南京,21,8分)用两种方法证明“三角形的外角和等于360”.如图,BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角.求证:BAE+CBF+ACD=360.证法1:,BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540.BAE+CBF+ACD=540-(1+2+3).,BAE+CBF+ACD=540-180=360.请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.,解析BAE+1=CBF+2=ACD+3=180;1+2+3=180.证法2:如图,过点A作射线AP,使APBD.APBD,CBF=PAB,ACD=EAP.BAE+PAB+EAP=360,BAE+CBF+ACD=360.,1.(2017黑龙江龙东,3,3分)如图,BCEF,ACDF,添加一个条件,使得ABCDEF.,考点二全等三角形的判定与性质,答案AB=DE(或BC=EF或AC=DF),解析BCEF,ACDF,ABC=DEF,BAC=EDF,根据AAS或ASA知,只需有一组对应边相等即可.,2.(2016江苏南京,14,2分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO.下列结论:ACBD;CB=CD;ABCADC;DA=DC.其中所有正确结论的序号是.,答案,解析ABOADO,BAC=DAC,AOB=AOD,AB=AD.AOB+AOD=180,AOB=90,ACBD,正确;AB=AD,BAC=DAC,AC=AC,ABCADC,正确;ABCADC,CB=CD,正确;DA与DC不一定相等,不正确.,3.(2015江西南昌,9,3分)如图,OP平分MON,PEOM于E,PFON于F,OA=OB,则图中有对全等三角形.,答案3,解析根据题图的特征以及角平分线的性质可以得到AOPBOP,EOPFOP,AEPBFP,所以题图中有3对全等三角形.,4.(2018内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,ABDE,且AB=DE.(1)求证:ABCDEF;(2)若EF=3,DE=4,DEF=90,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.,解析(1)证明:ABDE,A=D,AF=CD,AF+FC=CD+FC,即AC=DF,又AB=DE,ABCDEF.(2)(过点E作EOCF于O,由EF=3,ED=4,DEF=90,可得DF=5,所以EO=2.4,又四边形EFBC为菱形,所以FO=CO=1.8,所以AF=CD=5-3.6=1.4).,5.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=.(1)求证:APMBPN;(2)当MN=2BN时,求的度数;(3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.,解析(1)证明:P为AB中点,PA=PB.又A=B,MPA=NPB,APMBPN.(2)由(1)得PM=PN,MN=2PN,MN=2BN,PN=BN,=B=50.(3)4090.详解:BPN的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形,BPN和BNP都为锐角,又B=50,40BPN90,即4090.,思路分析(1)根据ASA可证明:APMBPN;(2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果;(3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围.肛,1.如果已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用SSS求解.,2.已知一边和一角:(1)边为角的对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条边:找角的另一边,利用SAS求解,找边的另一角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解.,方法归纳证明三角形全等的一般思路:,3.已知两角:(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任意一角的对边,利用AAS求解.,6.(2017吉林,18,5分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:A=D.,证明BE=CF,BE+EF=CF+EF.BF=CE.(2分)又B=C,AB=DC,ABFDCE.(4分)A=D.(5分),7.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.(1)如图1,求证:AE=BD;(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.图1,图2,解析(1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC,ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE,ACEBCD,AE=BD.(2)ACBDCE,AONDOM,AOBDOE,NCBMCE.,8.(2016重庆,19,7分)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CEDF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB.,证明CEDF,ACE=D.在ACE和FDB中,EC=BD,ACE=D,AC=FD,ACEFDB.AE=FB.,9.(2016四川南充,19,8分)已知ABN和ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,1=2.(1)求证:BD=CE;(2)求证:M=N.,证明(1)在ABD和ACE中,ABDACE(SAS).(3分)BD=CE.(4分)(2)ABDACE,ADB=AEC.(5分)又MDO=ADB,NEO=AEC,MDO=NEO.(6分)MOD=NOE,180-MDO-MOD=180-NEO-NOE,即M=N.(8分),评析本题考查了全等三角形的判定与性质,要根据题意选择合适的判定方法.,考点一三角形的相关概念,C组教师专用题组,1.(2016河南,6,3分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为()A.6B.5C.4D.3,答案D在ABC中,ACB=90,DE垂直平分AC,AD=DC,DEBC,E为AB的中点,DE=BC,BC=6,DE=BC=3.故选D.,2.(2015辽宁沈阳,4,3分)如图,在ABC中,点D是边AB上一点,点E是边AC上一点,且DEBC,B=40,AED=60,则A的度数是()A.100B.90C.80D.70,答案CDEBC,AED=C.又AED=60,C=60.在ABC中,A+B+C=180,B=40,C=60,A=180-B-C=180-40-60=80.故选C.,3.(2015四川绵阳,5,3分)如图,在ABC中,B、C的平分线BE、CD相交于点F,ABC=42,A=60,则BFC=()A.118B.119C.120D.121,答案C在ABC中,ACB=180-A-ABC=180-60-42=78.BE、CD分别平分ABC、ACB,FBC=ABC=21,FCB=ACB=39,BFC=180-FBC-FCB=180-21-39=120.故选C.,评析本题主要考查三角形的内角和定理,角平分线的概念,属容易题.,4.(2015贵州遵义,11,3分)如图,四边形ABCD中,C=50,B=D=90,E、F分别是BC、DC上的点,当AEF的周长最小时,EAF的度数为()A.50B.60C.70D.80,答案D如图,作点A关于BC所在直线的对称点M,及关于CD所在直线的对称点N,连接MN,分别交BC、DC于点E、F,此时AEF的周长最小.易知M=BAE,N=DAF.在四边形ABCD中,BAD=360-90-90-50=130,在AMN中,M+N=180-MAN=180-130=50,所以BAE+DAF=50.所以EAF=130-50=80.故选D.,评析本题考查了轴对称、四边形内角和、三角形内角和等知识,属中档题.,5.(2014江苏连云港,6,3分)如图,若ABC和DEF的面积分别为S1、S2,则()A.S1=S2B.S1=S2C.S1=S2D.S1=S2,答案C过点A作AMBC于点M,过点D作DNEF交FE的延长线于点N,S1=BCAM=85sin40,S2=EFDN=58sin40,所以S1=S2,故选C.,6.(2014江西,14,3分)在RtABC中,A=90,有一个锐角为60,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且ABP=30,则CP的长为.,答案2或4或6,解析图1中,ABC=60,BC=6,则AB=3,AC=3,又ABP=30,则AP=,所以CP=2或CP=4;图2中,ACB=60,ABP=30,CBP是等边三角形,CP=CB=6.图1图2,7.(2016广东,19,6分)如图,已知ABC中,D为AB的中点.(1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,若DE=4,求BC的长.,解析(1)如图.(2分)E点,DE即为所求.(3分)(2)DE是ABC的中位线,且DE=4,BC=2DE=24=8.(6分),评析本题主要考查平面几何中尺规作图的基本方法(中点的作法),以及三角形中位线的性质.,8.(2015浙江杭州,21,10分)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度.(1)用记号(a,b,c)(abc)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形,请列举出所有满足条件的三角形;(2)用直尺和圆规作出三边满足abc的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹).,解析(1)共九种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4).(2)只有a=2,b=3,c=4的一个三角形.如图的ABC即为满足条件的三角形.,1.(2015浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得ABCADC,这样就有QAE=PAE.则说明这两个三角形全等的依据是()A.SASB.ASAC.AASD.SSS,考点二全等三角形的判定与性质,答案D因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABCADC(SSS),故选D.,2.(2016福建福州,21,8分)一个平分角的仪器如图所示,其中AB=AD,BC=DC.求证:BAC=DAC.,证明在ABC与ADC中,ABCADC(SSS).BAC=DAC.,3.(2015陕西,19,7分)如图,在ABC中,AB=AC.作ADAB交BC的延长线于点D,作AEBD、CEAC,且AE、CE相交于点E.求证:AD=CE.,证明AEBD,EAC=ACB.AB=AC,B=ACB.EAC=B.(4分)又BAD=ACE=90,ABDCAE.(6分)AD=CE.(7分),4.(2015江苏苏州,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD.(1)求证:AD平分BAC;(2)若BC=6,BAC=50,求、的长度之和(结果保留).,解析(1)证明:由题意可知BD=CD,在ABD和ACD中,ABDACD(SSS).BAD=CAD,即AD平分BAC.(2)AB=AC,BAC=50,ABC=ACB=65.BD=CD=BC,BDC为等边三角形.DBC=DCB=60,DBE=DCF=55,BC=6,BD=CD=6.的长度=的长度=.、的长度之和为+=.,5.(2014江苏苏州,23,6分)如图,在RtABC中,ACB=90,点D,F分别在AB,AC上,CF=CB.连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE,连接EF.(1)求证:BCDFCE;(2)若EFCD,求BDC的度数.,解析(1)证明:CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE,CD=CE,DCE=90.ACB=90,BCD=90-ACD=FCE.在BCD和FCE中,BCDFCE.(2)由BCDFCE得BDC=E.EFCD,E=180-DCE=90.BDC=90.,评析本题考查全等三角形的判定及性质,平行线的性质,属容易题.,6.(2014浙江杭州,20,10分)把一条12个单位长度的线段分成三条线段,其中一条线段长为4个单位长度,另两条线段长都是单位长度的整数倍.(1)不同分法得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形?用直尺和圆规作这些三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹);(2)求出(1)中所作三角形外接圆的周长.,解析(1)12-4=8,长为8的线段可以分成如下两段:,不全等的三角形有两种,其三边分别为:3,4,5;4,4,4.当三边为3,4,5时,作图如图1.图1,图2当三边为4,4,4时,作图如图2.(2)因为32+42=52,所以三角形O1P1A1是直角三角形,所以外接圆直径等于斜边长5,所以外接圆的周长等于5.因为三角形O2P2A2是等边三角形,所以外接圆的直径等于24cos30=,所以外接圆的周长等于.,7.(2014江苏南京,27,11分)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E.然后,对B进行分类,可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况:当B是直角时,ABCDEF;(1)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E=90,根据,可以知道RtABCRtDEF;,第二种情况:当B是钝角时,ABCDEF.(2)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是钝角.求证:ABCDEF;,第三种情况:当B是锐角时,ABC和DEF不一定全等.,(3)在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,请你用尺规在图中作出DEF,使DEF和ABC不全等;(不写作法,保留作图痕迹)(4)B还要满足什么条件,就可以使ABCDEF?请直接填写结论:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,若,则ABCDEF.,解析(1)HL.(2分)(2)证明:如图,分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH,其中G、H为垂足.ABC、DEF都是钝角,G、H分别在AB、DE的延长线上.CGAG,FHDH,CGA=FHD=90.CBG=180-ABC,FEH=180-DEF,ABC=DEF,CBG=FEH.在BCG和EFH中,CGB=FHE,CBG=FEH,BC=EF,BCGEFH.CG=FH.又AC=DF,RtACGRtDFH.A=D.,在ABC和DEF中,ABC=DEF,A=D,AC=DF,ABCDEF.(6分)图,(3)如图,DEF就是所求作的三角形.图(9分)(4)本题答案不唯一.BA.(11分),A组20162018年模拟基础题组考点一三角形的相关概念,三年模拟,1.(2017安徽芜湖繁昌模拟)如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,且BNAN,垂足为N,已知AB=6,BC=10,MN=1,则ABC的周长为.,答案24,解析延长BN与AC相交于E点,因为AN平分BAC,且BNAN,所以ABE为等腰三角形,所以AE=AB=6,且N为BE的中点,又M为BC的中点,所以MN=CE,因为MN=1,所以CE=2,所以ABC的周长为6+10+6+2=24.,2.(2016安徽合肥十校第二次联考,9)如图,在ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,B=50,A=26,将ABC沿DE折叠,点A的对应点是点A,则AEA的度数是()A.145B.152C.158D.160,答案BD、E分别是AB、AC的中点,DEBC,AED=C.又C=180-(A+B)=104,AED=104.易得AEDAED,AED=AED=104.AEA=360-AED-AED=360-104-104=152.,3.(2016安徽安庆一模,18)如图,在等腰直角ABC中,ACB=90,AC=BC=2,点D是边AC的中点,点E是斜边AB上的动点,将ADE沿DE所在的直线折叠得到A1DE.(1)当点A1落在边BC(含边BC的端点)上时,折痕DE的长是多少?(2)连接A1B,当点E在边AB上移动时,求A1B长的最小值.,解析(1)点D到BC的距离是CD,且DC=DA=1,当点A1落在边BC上时,点A1与点C重合,如图所示,此时DE所在的直线为AC的垂直平分线,即DE为ABC的中位线,DE=BC=1.(2)如图,连接BD,在RtBCD中,BD=,由A1DEADE得A1D=AD=1,由A1B+A1DBD得A1BBD-A1D=-1,A1B长的最小值是-1.,1.(2017安徽合肥长丰竞赛,5)如图,某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()A.带去B.带去C.带去D.带和去,考点二全等三角形的判定与性质,答案C由全等三角形的判定,知满足“ASA”,故选C.,2.(2017安徽阜阳期末联考,13)如图所示,E=F=90,B=C,AE=AF.给出下列结论:1=2;BE=CF;ACNABM;CD=DN,其中正确的结论是.(将你认为正确的结论的序号都填上),答案,解析E=F=90,B=C,AE=AF,ABEACF,AC=AB,BE=CF,故正确;AC=AB,B=C,CAN=BAM,ACNABM,故正确;BAE=CAF,1=BAE-BAC,2=CAF-BAC,1=2,故正确;E=F,AE=AF,1=2,AEMAFN,AM=AN,CM=BN,又B=C,MDC=NDB,CDMBDN,CD=BD,故错误,故答案为.,3.(2016安徽池州十中月考,12)如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿BCDA(终点)运动.设点P的运动时间为t秒,若ABP和DCE全等,则t为秒.,答案1或7,解析ABP和DCE全等有两种情况:一是APDE,此时BP=CE=2,则t=1;二是AP=CE=2,此时ABPCDE,则t=7.,4.(2017安徽安庆期末联考,19)如图,ABC为等边三角形,D为边BA延长线上一点,连接CD,以CD为一边作等边三角形CDE,连接AE.(1)求证:CBDCAE;(2)判断AE与BC的位置关系,并说明理由.,解析(1)证明:ABC、DCE为等边三角形,AC=BC,EC=DC,ACB=ECD=DBC=60,ACD+ACB=DCB,ECD+ACD=ECA,ECA=DCB,在ECA和DCB中,ECADCB(SAS).(2)AEBC.ECADCB,EAC=DBC=60,又ACB=DBC=60,EAC=ACB,AEBC.,5.(2016安徽模拟,18)如图,点P在AOB的平分线上,请添加一个条件,使AOPBOP.(1)小明添加的条件是AP=BP,你认同吗?(2)你添加的条件是,请用你添加的条件完成证明.,解析(1)不认同,“SSA”无法证得两个三角形全等.(2)APO=BPO.(答案不唯一)证明:点P在AOB的平分线上,AOP=BOP,在AOP和BOP中,AOPBOP(ASA).,1.(2017安徽安庆期末联考,8)如图,ADB=AEC=100,BAD=50,BD=EC,则C=()A.20B.50C.30D.40,B组20162018年模拟提升题组(时间:35分钟分值:60分)一、选择题(每小题3分,共6分),答案CADB=AEC=100,ADE=AED=80,AD=AE,BAD=50,B=180-100-50=30,在ADB与AEC中,ADBAEC(SAS),C=B=30,故选C.,思路分析由ADB=AEC,可证AD=AE,从而可证ADBAEC,可得B=C,再由三角形内角和等于180可求出B,进而求出C.,2.(2017安徽合肥包河一模)如图,ABC中,BC=a,AC=b,AB=c(bAB,BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F,点O是BD的中点,直线OKAF,交AD于点K,交BC于点G.(1)求证:DOKBOG;(2)求证:AB+AK=BG;(3)如图2,若KD=KG=2,点P是线段KD上的动点(不与点D、K重合),PMDG交KG于点M,PNKG交DG于点N,设PD=x,SPMN=y,求y与x的函数关系式.,解析(1)证明:在矩形ABCD中,ADBC,KDO=GBO,DKO=BGO,点O是BD的中点,DO=BO,DOKBOG(AAS).(2)证明:四边形ABCD是矩形,BAD=ABC=90,ADBC,又AF平分BAD,BAF=BFA=45,AB=BF,OKAF,AKFG,四边形AFGK是平行四边形.AK=FG,BG=BF+FG,BG=AB+AK.,(3)解法一:如图,过点G作GIKD于点I,由(2)知,四边形AFGK是平行四边形,ABF为等腰直角三角形,AF=KG=2,AB=AF=.四边形ABCD是矩形,GI=AB=,SDKG=KDGI=2=.PD=x,PK=2-x,PMDG,PNKG,四边形PMGN是平行四边形,DKGPKMDPN,=,即SDPN=SDKG=x2,同理,SKPM=,S平行四边形PMGN=SDKG-SDPN-SKPM=-x2-,又SPMN=S平行四边形PMGN,y=-x2+x(0x2).解法二:如图,过点P作PQKG于点Q,KD=KG,KDG=KGD,又PNKG,PND=KGD,PND=KDG,PN=PD=x,AFKG,PKM=DAF=45,又PK=2-x,PQ=PKsin45=,又PNKG,SPMN=PNPQ=x=-x2+x(0x2).,思路分析(1)根据AAS可判定DOKBOG;(2)根据等腰三角形ABF和平行四边形AFGK的性质可得出BG=AB+AK;(3)易得DKGPKMDPN,由相似三角形的性质及面积公式可求出y与x的函数关系式.,解题关键运用全等三角形的判定与性质以及相似三角形的面积之比等于相似比的平方这一性质,并根据图形面积的等量关系列出方程进行求解是解题关键.,8.(2016安徽安庆四中二模,22)已知点P是RtABC斜边上一动点(不与A,B重合),分别过A、B向直线CP作垂线,垂足分别为E、F.(1)如图,当点P为AB的中点时,连接AF,BE,求证:四边形AEBF是平行四边形;(2)如图,当点P不是AB的中点时,取AB的中点Q,连接EQ、FQ,试判断QEF的形状,并加以证明.图图,解析(1)证明:点P为AB的中点,AP=BP.BFCP,AECP,BFAE,BFP=AEP.在BFP和AEP中,BFPAEP(AAS),PE=PF.四边形AEBF是平行四边形.(2)QEF是等腰三角形.证明:如图,延长FQ交AE于点D,由(1)知AEBF,QAD=FBQ.,在FBQ和DAQ中,FBQDAQ(ASA),QF=QD.AECP,DEF=90,QE=QF=QD,QEF是等腰三角形.,思路分析(1)先证BFP=AEP,AP=BP,再证BFPAEP,可得PE=PF,从而可得EF、AB互相平分,命题得证;(2)延长FQ交AE于点D,可证FBQDAQ,可得QF=QD,由FDE为直角三角形,可知QE为斜边DF上的中线,且QE=QF=QD,问题解决.,9.(2016安徽阜阳颍泉二模,23)正方形ABCD中,点O为两条对角线的交点.(1)如图,点M、N分别在AD、CD边上,MON=90,求证:OM=ON;(2)如图,若AE交CD于点E,DFAE于点F,在AE上截取AG=DF,连接OF、OG,则OFG是哪种特殊三角形?证明你的结论;(3)如图,若AE交BC于点E,DFAE于F,连接OF,求DFO的度数.,解析(1)证明:如图,连接OA、OD,则OA=OD,AOD=90,OAM=ODN=45,又MON=90,AOD-MOD=MON-MOD,即AOM=DON,AOMDON,OM=ON.(2)OFG为等腰直角三角形.证明:如图,连接OA、OD,则AO=OD,AOD=90,OAD=ODC=45,DFAE,DAF+ADF=ADF+FDE=90,DAE=FDE,OAG=ODF,又AG=DF,OAGODF,OG=OF,AOG=DOF,GOF=GOD+DOF=GOD+AOG=90,故OFG为等腰直角三角形.(3)如图,在AE上截取AG=DF,连接OA、OD、OG,OA与DF交于点H,则AO=DO,AFD=AOD=90,AHF=DHO,GAO=FDO,OAGODF,OG=OF,AOG=DOF,GOF=GOA-FOA=DOF-FOA=90,GFO=45,又DFAE,DFE=90,DFO=45.,思路分析(1)连接OA、OD,利用正方形的性质得到OAM=ODN,从而得到AOM=DON,进而证出AOMDON,OM=ON即可得证;(2)连接OA、OD,利用正方形的性质得到OAD=ODE,从而得到DAE=FDE,进而证出OAGODF,进而得出结论;(3)根据(1)、(2)的特点和解题方法,作出辅助线求解即可.,解题关键利用正方形的性质和三角形全等是解答本题的关键.,
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