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第四章圆与方程,本章概览一、地位作用解析几何是几何学的一个分支,是通过坐标法,运用代数工具研究几何问题的一门学科,它把数学的两个基本对象形与数有机地联系起来,一方面,几何概念可用代数表示,几何目标可通过代数方法达到;另一方面,又可给代数语言以几何的解释,使代数语言更直观、更形象地表达出来,这对人们发现新结论具有重要的意义,近代数学的发展,在很大程度上应该归功于解析几何.本章在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互关系,体会数形结合思想,初步培养用代数方程解决几何问题的能力,为以后选修圆锥曲线打下基础.,二、内容标准1.圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.(2)能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2.空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式.本章的重点是直线的点斜式方程、一般式方程和圆的方程.难点是坐标法的应用.坐标法是研究解析几何的基本方法,由曲线求方程和由方程研究曲线是解析几何的基本问题,应注意展现过程,揭示思想方法,强调学生的感受和体验.在活动中逐步提高认识和加深理解.,三、核心素养在学习过程中,学生体会几何问题代数化,用代数语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题、处理代数问题、分析代数结果的几何意义,最终解决几何问题,不断体会“数形结合”的思想方法,对学生达成直观想象,数学运算对数学核心素养大有帮助.,4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入情境导学,知识探究,圆的标准方程(1)以C(a,b)为圆心,r(r0)为半径的圆的标准方程为.(2)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2.,(x-a)2+(y-b)2=r2,探究:若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a0),此圆的半径一定是a吗?圆心坐标是(m,n)吗?答案:圆的半径不一定是a,当a0时,半径是a;当a0时,半径是-a.圆心坐标不是(m,n),应是(-m,-n),因为(x+m)2+(y+n)2=a2化为标准形式是x-(-m)2+y-(-n)2=|a|2.,自我检测,1.(圆的标准方程)已知点A(-4,-3),B(2,7),则以线段AB为直径的圆的方程是()(A)(x+1)2+(y-2)2=136(B)(x-1)2+(y+2)2=34(C)(x+1)2+(y-2)2=34(D)(x-1)2+(y+2)2=136,C,2.(点与圆的位置关系)若点A(a,a-1)在圆(x-3)2+(y-2)2=2的外部,则实数a的取值范围是()(A)(2,4)(B)(-,2)(C)(4,+)(D)(-,2)(4,+),D,3.(圆的标准方程)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()(A)(x-1)2+(y-1)2=1(B)(x+1)2+(y+1)2=1(C)(x+1)2+(y+1)2=2(D)(x-1)2+(y-1)2=2,D,4.(点与圆的位置关系)已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)()(A)是圆心(B)在圆上(C)在圆内(D)在圆外,C,5.(圆的标准方程)与圆(x-2)2+(y+3)2=16同心,且过点P(-1,1)的圆的方程是.,答案:(x-2)2+(y+3)2=25,题型一,点与圆的位置关系,课堂探究素养提升,【思考】1.在平面几何中,点与圆有哪几种位置关系?提示:在圆内,在圆上,在圆外.2.在平面几何中,如何确定点与圆的位置关系?提示:利用点和圆心之间的距离与半径的大小关系来判断.3.在平面直角坐标系中,已知点M(x0,y0)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,如何判断点M在圆外、圆上、圆内.提示:当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆上;当(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆外.,【例1】写出圆心为A(2,-3),半径等于5的圆的标准方程,并判断点M1(5,-7),M2(4,-1),M3(6,1)与圆的位置关系.,解:圆心为A(2,-3)半径等于5的圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.把点M1(5,-7)代入圆的方程得(5-2)2+(-7+3)2=25,所以点M1在圆上;把点M2(4,-1)代入圆的方程得(4-2)2+(-1+3)225,所以点M3在圆外.,方法技巧判断点与圆的位置关系有两种方法(1)几何法:计算点与圆心的距离与半径的大小关系;(2)代数法:将点的坐标代入圆的方程,判断式子两边的大小关系,并得出结论.,即时训练1-1:若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是()(A)(-1,1)(B)(0,1)(C)(-,-1)(1,+)(D)a=1,解析:若点(1,1)在圆的内部,则(1-a)2+(1+a)24,化简得a21,因此-1a1.故选A.,【备用例1】已知A(-1,4),B(5,-4).求以AB为直径的圆的标准方程,并判断C(5,1),D(6,-3),E(-5,1)与圆的位置关系.,题型二,求圆的标准方程,【思考】1.确定圆的标准方程的条件是什么?提示:圆心坐标和半径,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定量条件.2.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆吗?提示:不一定.当m=0时表示点(a,b),当m0时表示圆.,【例2】(12分)已知ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求该三角形的外接圆的方程.,方法技巧一般地,不在同一条直线上的三点可以确定一个圆;三角形有唯一的外接圆,圆心为三角形三边垂直平分线的交点;已知圆心所在的直线及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线与圆心所在直线的交点为圆心.求圆的标准方程,关键是确定圆心坐标和半径.,即时训练2-1:已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为()(A)(x+3)2+(y-1)2=1(B)(x-3)2+(y+1)2=1(C)(x+3)2+(y+1)2=1(D)(x-3)2+(y-1)2=1,【备用例2】圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程为.,答案:(x-1)2+(y+4)2=8,题型三,与圆有关的最值问题,【例3】已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0).(1)求此圆的标准方程;,解:(1)由题意,结合图(1)可知圆心为(3,0),r=2,所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.,(2)设P(x,y)为圆C上任意一点,求点P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.,方法技巧一般地,求圆上的点到某定点或某定直线的距离的最值问题,常转化为圆心到定点或定直线的距离问题解决,充分体现了转化与化归的数学思想.,即时训练3-1:已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;,(2)圆x2+(y+4)2=4上的点到直线l:x+y=1的距离的最大值为,最小值为.,谢谢观赏！,
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