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12.2空间两条直线的位置关系,第1章立体几何初步,学习导航,第1章立体几何初步,1空间中两条直线的位置关系,不同在任何,一个平面内,相交,平行,异面直线,2.公理4与等角定理(1)公理4,平行于同一条直线,ab且bcac,传递,(2)等角定理,相等,3.异面直线的判定与几何表示,不经过该点,4.异面直线所成的角,锐角(或直角),090,ab,90,1如果两条直线a与b没有公共点，那么a和b的位置关系是_解析：空间中两条直线的位置关系共有相交、平行、异面三种情况，若直线a与b没有公共点，那么a和b的位置关系只能是平行或异面,平行或异面,2.(课本改编题)如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有_对解析：根据异面直线的定义可知共3对,分别是AP与BC，CP与AB，BP与AC.,3,3如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线(1)DBC的两边与_的两边分别平行且方向相同；(2)DBC的两边与_的两边分别平行且方向相反解析：(1)B1D1BD，B1C1BC，并且方向相同，DBC的两边与D1B1C1的两边分别平行且方向相同(2)D1B1BD，D1A1BC，并且方向相反，DBC的两边与B1D1A1的两边分别平行且方向相反,D1B1C1,B1D1A1,异面直线的判定与证明,法二：(反证法)若AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过AE，DF的平面为.若E，F重合，则E是BC的中点，从而有ABAC，这与题设ABAC相矛盾若E，F不重合，BEF，CEF，EF，BC.又A，D，A，B，C，D四点共面，这与题设ABCD是空间四边形相矛盾综上，AE和DF不是异面直线不成立故AE和DF是异面直线,方法归纳证明两条直线为异面直线，方法主要有两种：(1)定理法即：a，A，B，Ba直线a与AB是异面直线(2)反证法体现了“正难则反”的解题思想反证法一般有三个步骤：一是假设结论的反面成立；二是推出矛盾，可以是与已知矛盾、与定理、公理矛盾，也可以是自相矛盾；三是下结论,1如图所示，AB，CD是两异面直线，求证：直线AC，BD也是异面直线证明：法一：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内，设这个平面为，由AC，BD，知A，B，C，D.故AB，CD.这与AB和CD是异面直线矛盾，,所以假设不成立，则直线AC和BD是异面直线法二：由题图可知，直线AB、AC相交于点A，所以它们确定一个平面为.由直线AB和CD是异面直线，则D，即直线BD过平面外一点D与平面内一点B.又AC，BAC，所以直线AC和BD是异面直线,公理4及等角定理的应用,方法归纳(1)求证两直线平行：一是应用公理4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似如本题中在证明EA1FE1CF1时，还可以通过证明A1EFCF1E1来实现，由于EFE1F1，所以只需要证明A1EA1FCE1CF1(在这些边所在的直角三角形中，利用勾股定理即可证明),正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小(链接教材P29例1),求异面直线所成的角,方法归纳求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面，也就是通过平移直线至相交位置求角，它是立体几何问题的一个难点，找异面直线所成的角时可综合运用多种方法，结合以上四种解法总结起来有如下“口诀”：中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行线若在外，补上原体在外边,所以MPN60或MPN120.又因为ABCD，所以PMPN，(1)若MPN60，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角为60.(2)若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上知：AB与MN所成的角为60或30.,错因与防范(1)在解答此类问题时，常常由于对异面直线所成角的范围认识模糊，导致回答结论时产生错误事实上，由于异面直线所成角的范围是090，当求得的角为钝角时，则其补角是异面直线所成的角(2)重视异面直线所成的角的取值范围，并要注意结合实际情景进行恰当地推导计算题中要注意所用结论的证明，做到步步有据注意解题的规范性，不要漏掉步骤，致使解析不规范，答案不清晰,解(1)如图，过P点在平面外的左、右两侧存在2条直线与a、b所成的角为45.(2)如图，过P点在平面内120的角平分线上存在1条直线与a、b所成的角为60；过P点在平面外的左右两侧存在2条直线与a、b所成的角为60，则与a、b所成的角为60的直线有3条(3)如图，过P点在平面外左右两侧存在2条直线与a、b所成的角为70，过P点在平面外前、后两侧存在2条直线与a、b所成的角为70，则与a、b所成的角为70的直线有4条,感悟提高如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F的位置，就说图形F在空间作了一次平移求异面直线所成的角就是利用平移法即求两条异成直线的夹角问题，可以把所有的直线都平移，使它们都过同一个点,
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