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第八章专题拓展8.3阅读理解型,中考数学(福建专用),一、选择题1.(2014龙岩,10,4分)定义符号mina,b的含义为:当ab时,mina,b=b;当a0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y=x+b与图象G交于点B,与y轴交于点C.(1)求k的值;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域(不含边界)为W.当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数;若区域W内恰有4个整点,结合函数图象,求b的取值范围.,解析(1)由函数y=(x0)的图象过点A(4,1),得k=14=4.(2)整点个数为3.如图,若b0,当直线过点(1,2)时,b=,当直线过点(1,3)时,b=,b;若b0,当直线过点(4,0)时,b=-1,当直线过点(5,0)时,b=-,-b-1.综上,-b-1或b.,思路分析本题的第(2)问需要结合题意画图理解,寻找图象中的临界点.,解题关键解决本题的关键是在寻找区域内除了x轴上整点的临界整点时,要注意区域是不包含边界的.,6.(2018北京,28,7分)对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记作d(M,N).已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).(1)求d(点O,ABC);(2)记函数y=kx(-1x1,k0)的图象为图形G.若d(G,ABC)=1,直接写出k的取值范围;(3)T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(T,ABC)=1,直接写出t的取值范围.,解析(1)如图1,点O到ABC上的点的距离的最小值为2,即d(点O,ABC)=2.图1(2)k的取值范围为-1k1且k0.提示:如图1,y=kx(k0)的图象经过原点,在-1x1范围内,函数图象为线段.当y=kx(-1x1,k0)的图象经过(1,-1)时,k=-1,此时d(G,ABC)=1;当y=kx(-1x1,k0)的图象经过(-1,-1)时,k=1,此时d(G,ABC)=1.,-1k1.k0,-1k1且k0.(3)t的取值范围为t=4或0t4-2或t=4+2.提示:T与ABC的位置关系分三种情况,如图2.T在ABC的左侧时,d(T,ABC)=1,此时t=-4;T在ABC的内部时,d(T,ABC)=1,此时0t4-2;T在ABC的右侧时,d(T,ABC)=1,此时t=4+2.综上所述,t=-4或0t4-2或t=4+2.,图2,解题关键解决本题的关键是要从点到点的距离中发现点到直线的距离和平行线间的距离.,7.(2018陕西,25,12分)问题提出(1)如图,在ABC中,A=120,AB=AC=5,则ABC的外接圆半径R的值为.问题探究(2)如图,O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是O上一动点,求PM的最大值.问题解决(3)如图所示,AB、AC、是某新区的三条规划路,其中,AB=6km,AC=3km,BAC=60,所对的圆心角为60.新区管委会想在路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F,也就是,分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按PEFP的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计),解析(1)5(2分)详解:如图,设O是ABC的外接圆的圆心,OA=OB=OC,又AB=AC,AOBAOC,BAO=CAO,BAC=120,BAO=60,ABO是等边三角形,AB=OA=OB=5.即ABC的外接圆半径R的值为5.(2)如图,连接MO,并延长与O相交于点P,连接OA,OP.M是弦AB的中点,OMAB,AM=AB=12.在RtAOM中,OM=5.(4分)PMOM+OP=OM+OP=MP=18,当点P运动到P时,PM取得最大值,为18.(5分)(3)如图,设P为上任意一点,分别作点P关于直线AB、AC的对称点P1、P2,连接P1P2,分别与AB、AC相交于点E、F,连接PE,PF,PEF的周长=P1E+EF+P2F=P1P2,对于点P及分别在AB、AC上的任意点E、F,有PEF的周长PEF的周长=P1P2.即PEF周长的最小值为P1P2的长.(7分)连接AP1,AP,AP2,则AP1=AP=AP2,P1AB=PAB,P2AC=PAC,P1AP2=2BAC=120,P1P2=AP1=AP.(8分)要使P1P2最短,只要AP最短即可.设O为所在圆的圆心,连接OB、OC、OP、OA,且OA与相交于点P,则AP+POAO.APAP.(9分)连接BC,易证ACB为直角三角形,且ABC=30,ACB=90,BC=ACtan60=3km.BOC=60,OB=OC,BO=BC=3km,OBC=60,ABO=ABC+OBC=90.在RtABO中,AO=3km.(11分)AP=(AO-OP)=(3-3)=(3-9)km.P1P2的最小值为AP=(3-9)km.PE+EF+FP的最小值为(3-9)km.(12分),思路分析(1)设O是ABC的外接圆的圆心,根据全等三角形的判定与性质和圆的半径相等可证ABO是等边三角形,所以AB=OA=OB=5;(2)当PMAB时,PM有最大值,根据垂径定理可得AM=AB=12,再根据勾股定理求得OM=5,进而由PMOM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3)分别以AB、AC所在的直线为对称轴,作出P关于AB的对称点为P1,关于AC的对称点为P2,易得PEF的周长为P1P2的长,根据P1P2=AP,可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA与交于点P,此时使得线段PE、EF、FP之和最短,然后先判定ABC为直角三角形,求出BC的长,在RtABO中由勾股定理求出AO的长,进而求出AP的值,最后求得PE+EF+FP的最小值.,难点分析本题难点在于第(3)问如何确定P点的位置及何时PE+EF+FP取得最小值.读懂题目信息也就明确了可以利用轴对称确定最短路线问题,同时结合圆半径和线段OA的长度求出AP的最小值.,8.(2018江西,23,12分)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程:求解体验(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1,0),则b=,顶点坐标为,该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是.抽象感悟我们定义:对于抛物线y=ax2+bx+c(a0),以y轴上的点M(0,m)为中心,作该抛物线关于点M对称的抛物线y,则我们又称抛物线y为抛物线y的“衍生抛物线”,点M为“衍生中心”.(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0,m)的衍生抛物线为y,若这两条抛物线有交点,求m的取值范围.问题解决(3)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a0).若抛物线y的衍生抛物线为y=bx2-2bx+a2(b0),两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,求a,b的值及衍生中心的坐标;若抛物线y关于点(0,k+12)的衍生抛物线为y1,其顶点为A1;关于点(0,k+22)的衍生抛物线为y2,其顶点为A2;关于点(0,k+n2)的衍生抛物线为yn,其顶点为An;(n为正整数).求AnAn+1的长(用含n的式子表示).(备用图),解析(1)-4;(-2,1);y=(x-2)2+1(或y=x2-4x+5).(2)易知抛物线y=-x2-2x+5的顶点坐标为(-1,6),且点(-1,6)关于点(0,m)的对称点为(1,2m-6),衍生抛物线的解析式为y=(x-1)2+2m-6.由y=-(x+1)2+6,y=(x-1)2+2m-6,y=y,得x2+m-5=0,即x2=5-m.当5-m0,即m5时,方程有解.m的取值范围为m5.(3)抛物线y=ax2+2ax-b的顶点为(-1,-a-b),抛物线y=bx2-2bx+a2的顶点为(1,-b+a2),由两抛物线的交点恰好是它们的顶点,得a2-3a=0,a2+a+4b=0,解得a1=0,b1=0(舍去),a2=3,b2=-3.抛物线y的顶点为(-1,0),抛物线y的顶点为(1,12).两抛物线的衍生中心坐标为(0,6).,y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b,y1=-a(x-1)2+2k+2+a+b,顶点A1为(1,2k+2+a+b),y2=-a(x-1)2+2k+8+a+b,顶点A2为(1,2k+8+a+b),yn=-a(x-1)2+2k+2n2+a+b,顶点An为(1,2k+2n2+a+b),yn+1=-a(x-1)2+2k+2(n+1)2+a+b,顶点An+1为(1,2k+2(n+1)2+a+b),AnAn+1=2k+2(n+1)2+a+b-(2k+2n2+a+b)=2(n+1)2-2n2=4n+2.,9.(2017吉林,26,10分)函数的图象与性质拓展学习片段展示:【问题】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-2)2-经过原点O,与x轴的另一个交点为A,则a=.【操作】将图中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方,将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,如图.直接写出图象G对应的函数解析式.【探究】在图中,过点B(0,1)作直线l平行于x轴,与图象G的交点从左至右依次为点C,D,E,F,如图.求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围.【应用】P是图中图象G上一点,其横坐标为m,连接PD,PE.直接写出PDE的面积不小于1时m的取值范围.,【应用】PDE的面积不小于1时,m的取值范围是m=0或m=4或m2-或m2+.(详解:设点P的纵坐标为y,则P(m,y),2|y-1|=1,解得y=0或y=2.当y=0时,m=0或m=4;当y=2时,(m-2)2-=2,解得m=2.所以PDE的面积不小于1时,m的取值范围是m=0或m=4或m2-或m2+)(10分),10.(2017重庆A卷,25,10分)对任意一个三位数n,如果n满足各数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,666111=6,所以F(123)=6.(1)计算:F(243),F(617);(2)若s,t都是“相异数”,其中s=100 x+32,t=150+y(1x9,1y9,x、y都是正整数),规定:k=.当F(s)+F(t)=18时,求k的最大值.,解析(1)F(243)=(423+342+234)111=9;F(617)=(167+716+671)111=14.(4分)(2)s,t都是“相异数”,F(s)=(302+10 x+230+x+100 x+23)111=x+5;F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)111=y+6.F(s)+F(t)=18,x+5+y+6=x+y+11=18,x+y=7.(6分)1x9,1y9,且x,y都是正整数,或或或或或s是“相异数”,x2,且x3;t是“相异数”,y1,且y5,满足条件的有或或,或或k=,或k=1,或k=.4-3,所以34是12的最佳分解,所以F(12)=.(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方,我们称正整数a是完全平方数.求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;(2)如果一个两位正整数t,t=10 x+y(1xy9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18,那么我们称这个数t为“吉祥数”.求所有“吉祥数”中F(t)的最大值.,解析(1)证明:对任意一个完全平方数m,设m=n2(n为正整数).|n-n|=0,nn是m的最佳分解.对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1.(3分)(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t,则t=10y+x.t为“吉祥数”,t-t=(10y+x)-(10 x+y)=9(y-x)=18.y=x+2.(6分)1xy9,x,y为自然数,“吉祥数”有:13,24,35,46,57,68,79.(7分)易知F(13)=,F(24)=,F(35)=,F(46)=,F(57)=,F(68)=,F(79)=.,所有“吉祥数”中F(t)的最大值是.(10分),12.(2016北京,29,8分)在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1x2,y1y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.下图为点P,Q的“相关矩形”的示意图.(1)已知点A的坐标为(1,0).若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积;点C在直线x=3上.若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;(2)O的半径为,点M的坐标为(m,3).若在O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.,解析(1)如图,矩形AEBF为点A(1,0),B(3,1)的“相关矩形”.可得AE=2,BE=1.点A,B的“相关矩形”的面积为2.由点A(1,0),点C在直线x=3上,点A,C的“相关矩形”AECF为正方形,可得AE=2.,当点C在x轴上方时,CE=2,可得C(3,2).直线AC的表达式为y=x-1.当点C在x轴下方时,CE=2,可得C(3,-2).直线AC的表达式为y=-x+1.(2)由点M,N的“相关矩形”为正方形,可设直线MN为y=x+b或y=-x+b.(i)当直线MN为y=x+b时,可得m=3-b.,由图可知,当直线MN平移至与O相切,且切点在第四象限时,b取得最小值,此时直线MN记为M1N1,其中N1为切点,T1为直线M1N1与y轴的交点.ON1T1为等腰直角三角形,ON1=,OT1=2,b的最小值为-2.m的最大值为5.当直线MN平移至与O相切,且切点在第二象限时,b取得最大值,此时直线MN记为M2N2,其中N,2为切点,T2为直线M2N2与y轴的交点.同理可得,b的最大值为2,m的最小值为1.m的取值范围为1m5.(ii)当直线MN为y=-x+b时,同理可得,m的取值范围为-5m-1.综上所述,m的取值范围为-5m-1或1m5.,13.(2016江西,22,10分)【图形定义】如图,将正n边形绕点A顺时针旋转60后,发现旋转前后两图形有另一个交点O,连接AO,我们称AO为“叠弦”;再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60后,交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称OAB为“叠弦角”,AOP为“叠弦三角形”.【探究证明】(1)请在图1和图2中选择其中一个证明:“叠弦三角形”(即AOP)是等边三角形;(2)如图2,求证:OAB=OAE;【归纳猜想】(3)图1、图2中“叠弦角”的度数分别为,;(4)图n中,“叠弦三角形”等边三角形(填“是”或“不是”);(5)图n中,“叠弦角”的度数为(用含n的式子表示).,解析(1)选择图1.证明:依题意得DAD=60,PAO=60.DAP=DAD-PAD=60-PAD,DAO=PAO-PAD=60-PAD,DAP=DAO.D=D,AD=AD,DAPDAO,AP=AO.PAO=60,AOP是等边三角形.(2分)选择图2.证明:依题意得EAE=60,PAO=60.EAP=EAE-PAE=60-PAE,EAO=PAO-PAE=60-PAE,EAP=EAO.,E=E,AE=AE,EAPEAO,AP=AO.PAO=60,AOP是等边三角形.(2分)(2)证法一:连接AC,AD,CD.AE=AB,E=B=108,ED=BC,AEDABC,AD=AC,ADE=ACB,由AD=AC,得ADC=ACD,ODC=OCD,OC=OD,BC-OC=ED-OD,即BO=EO.AB=AE,B=E,ABOAEO,OAB=OAE.(5分)证法二:连接AC,AD,CD.AE=AB,E=B=108,ED=BC,AEDABC,AD=AC,ADE=ACB,EAD=BAC,点A在线段CD的垂直平分线上,ADC=ACD,ODC=OCD,OC=OD,点O在线段CD的垂直平分线上,直线AO是线段CD的垂直平分线,CAO=DAO,BAC-CAO=EAD-DAO,即OAB=OAE.(5分)(3)15;24.(7分)(4)是.(8分)(5)60-.(10分),评析本题主要考查新定义“叠弦三角形”,等边三角形和全等三角形以及正多边形的综合应用.解答本题的关键是先读懂新定义,再利用新定义解决问题.同时要从特殊到一般归纳出结论.,14.(2016厦门,28,6分)当m,n是正实数,且满足m+n=mn时,就称点P为“完美点”,已知点A(0,5)与点M都在直线y=-x+b上,点B,C是“完美点”,且点B在线段AM上,若MC=,AM=4,求MBC的面积.,解析m+n=mn,且m,n是正实数,+1=m,即=m-1,P(m,m-1),即“完美点”B在直线y=x-1上,点A(0,5)在直线y=-x+b上,b=5,直线AM的方程为y=-x+5,“完美点”B在直线AM上,由解得B(3,2),一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=-x,而直线y=x-1与直线y=x平行,直线y=-x+5与直线y=-x平行,直线AM与直线y=x-1垂直,点B是直线y=x-1与直线AM的交点,解析m+n=mn,且m,n是正实数,+1=m,即=m-1,P(m,m-1),即“完美点”B在直线y=x-1上,点A(0,5)在直线y=-x+b上,b=5,直线AM的方程为y=-x+5,“完美点”B在直线AM上,由解得B(3,2),一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=-x,而直线y=x-1与直线y=x平行,直线y=-x+5与直线y=-x平行,直线AM与直线y=x-1垂直,点B是直线y=x-1与直线AM的交点,垂足是点B,点C是“完美点”,点C在直线y=x-1上,MBC是直角三角形,B(3,2),A(0,5),AB=3,AM=4,BM=,又CM=,BC=1,SMBC=BMBC=.,思路分析由m+n=mn变形为=m-1,可知P(m,m-1),所以“完美点”在直线y=x-1上,点A(0,5)在直线y=-x+b上,求得直线AM:y=-x+5,进而求得B(3,2),根据直线平行的性质证得直线AM与直线y=x-1垂直,然后根据勾股定理求得BC的长,从而求得三角形的面积.,点评本题考查了一次函数的性质,直角三角形的判定,勾股定理的应用以及三角形面积的计算等,判断直线垂直,借助正比例函数是本题的关键.,15.(2015泉州,26,13分)阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点(0,1)的距离与到直线y=-1的距离相等,你可以利用这一性质解决问题.问题解决如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与y轴交于C点,与函数y=x2的图象交于A,B两点,分别过A,B两点作直线y=-1的垂线,交于E,F两点.(1)写出点C的坐标,并说明ECF=90;(2)在PEF中,M为EF中点,P为动点.求证:PE2+PF2=2(PM2+EM2);已知PE=PF=3,以EF为一条对角线作平行四边形CEDF,若1PD2,试求CP的取值范围.,解析(1)当x=0时,y=k0+1=1,则点C的坐标为(0,1).根据题意可得AC=AE,AEC=ACE.AEEF,COEF,AECO,AEC=OCE,ACE=OCE.同理可得OCF=BCF.ACE+OCE+OCF+BCF=180,2OCE+2OCF=180,OCE+OCF=90,即ECF=90.(2)证明:过点P作PHEF于H,(i)若点H在线段EF上,如图.,图M为EF中点,EM=FM=EF.根据勾股定理可得PE2+PF2-2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2-2PM2=2PH2+EH2+HF2-2(PH2+MH2)=EH2-MH2+HF2-MH2=(EH+MH)(EH-MH)+(HF+MH)(HF-MH),=EM(EH+MH)+MF(HF-MH)=EM(EH+MH)+EM(HF-MH)=EM(EH+MH+HF-MH)=EMEF=2EM2,PE2+PF2=2(PM2+EM2).(ii)若点H在线段EF的延长线(或反向延长线)上,如图.图同理可得PE2+PF2=2(PM2+EM2).,综上所述:当点H在直线EF上时,都有PE2+PF2=2(PM2+EM2).连接CD、PM,如图.ECF=90,CEDF是矩形,M是EF的中点,M是CD的中点,且MC=EM.由中的结论可得在PEF中,有PE2+PF2=2(PM2+EM2),在PCD中,有PC2+PD2=2(PM2+CM2).MC=EM,PC2+PD2=PE2+PF2.PE=PF=3,PC2+PD2=18.1PD2,16.(2015重庆,23,10分)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是:1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是:1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”.再如22,545,3883,345543,都是“和谐数”.(1)请你直接写出3个四位“和谐数”;请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除,并说明理由;(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字为x(1x4,x为自然数),十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.,17.(2015浙江宁波,25,12分)如图1,点P为MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果APB绕点P旋转时始终满足OAOB=OP2,我们就把APB叫做MON的智慧角.(1)如图2,已知MON=90,点P为MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,且APB=135.求证:APB是MON的智慧角.(2)如图1,已知MON=(00)图象上的一个动点,过C的直线CD分别交x轴和y轴于A,B两点,且满足BC=2CA,请求出AOB的智慧角APB的顶点P的坐标.,解析(1)证明:MON=90,P是MON的平分线上一点,AOP=BOP=MON=45.AOP+OAP+APO=180,OAP+APO=135.APB=135,APO+OPB=135,OAP=OPB,AOPPOB,(2分)=,OP2=OAOB,APB是MON的智慧角.(3分)(2)APB是MON的智慧角,OAOB=OP2,=.,P为MON的平分线上一点,MON=,AOP=BOP=.AOPPOB,OAP=OPB,APB=OPB+OPA=OAP+OPA=180-,即APB=180-.(5分)过A作AGOB于G,SAOB=OBAG=OBOAsin=OP2sin.OP=2,SAOB=2sin.(7分)(3)设点C(a,b),则ab=3,过点C作CHOA,垂足为点H,e2,ACHABO,OB=CH=b,OA=AH=a,OAOB=ab=.APB是AOB的智慧角,OP=,AOB=90,OP平分AOB,点P的坐标为.综上,点P的坐标为或.(12分),评析本题是阅读理解型新定义问题,考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数定义、反比例函数的性质、曲线上点的坐标与方程的关系等知识,以及分类讨论思想的应用.,
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