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计算方法,授课老师：聂德明nieinhz仰仪北楼606,计量测试工程学院,NumericalMethod,方程求根,1问题的提出,2二分法,3迭代法,4牛顿法及割线法,预备知识,1.Taylor公式,拉格朗日余项：,2.拉格朗日中值定理,预备知识,若f(x)在a,b上连续，且f(x)在(a,b)内可导，则存在a,b，使：,或,设函数f(x)在区间a,b上连续，在(a,b)内可导，则f(x)在a,b上单调递增(递减)的充要条件是,3.函数的单调性,预备知识,1问题的提出,方程的一般形式：f(x)=0，满足方程的x值通常叫做方程的根或解，也叫函数f(x)的零点。,实际问题,代数方程5次以上的方程无求根公式超越方程：包含超越函数，如sinx,lnx,ex,近似求解,1问题的提出,求根的隔离区间，即确定根所在区间根的精确化。粗糙的近似值-满足精度的近似值,方程求根步骤：,1问题的提出,求根的隔离区间,设函数f(x)在a,b内连续，严格单调，且有f(a)f(b)0，则在a,b内方程f(x)=0有且仅有一个实根。,函数y=f(x)与横轴(y=0)交点f(x)=0f1(x)=f2(x)，函数f1(x)与f2(x)的交点区间a,b内选择x1,x2,x3,x4，根据f(x)在这些点上值的符号确定,2二分法,二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。,设函数f(x)在a,b内连续，严格单调，且有f(a)f(b)0，则在a,b内方程f(x)=0有且仅有一个实根。,2二分法,误差估计,对于所给定的精度，则可得,2二分法,例3用二分法求下列方程在区间0,1内的实根，要求有3位有效数字。,3迭代法,基本思想：逐次逼近,粗糙的初值,校正后的近似值,迭代公式,END,满足精度,不满足精度,3迭代法,迭代公式,序列有极限：迭代公式收敛序列无极限：迭代公式发散,用迭代法求下列方程在区间2,4的根。,3迭代法,取x0=4，则,3迭代法,取x0=4，则,几何意义,3迭代法,假设迭代函数(x)在a,b上具有一阶连续的导数，且满足当xa,b时，(x)a,b；存在正常数L1，使得|(x)|L;则方程在a,b上有唯一根x*对任意x0a,b，迭代格式xk+1=(xk)都收敛到x*,定理1,定义1：局部收敛性对于方程x=(x)，若在x*的某个领域S=x|xx*-,x*+内，对任意初值x0S，迭代格式xk+1=(xk)都收敛，则称该迭代格式在x*的附近是局部收敛的。,3迭代法,定理3设方程x=(x)有根x*，且在x*的某个领域S=x|xx*-,x*+内存在一阶连续导数，则当|(x*)|1时，迭代格式xk+1=(xk)发散,3迭代法,迭代法的收敛速度（收敛阶）,p=1，且0|c|1，称为线性收敛p=2，称为平方收敛,假设迭代函数(x)在a,b上具有一阶连续的导数，且满足当xa,b时，(x)a,b；存在正常数L1，使得|(x)|L;则方程在a,b上有唯一根x*对任意x0a,b，迭代格式xk+1=(xk)都收敛到x*,定理1,定理2.4若(x)在x*附近的某个领域内有p阶(p1)连续导数，且(x*)=x*,(x*)=0,(p-1)(x*)=0,(p)(x*)0,则对一个任意靠近x*的初始值x0，迭代公式xk+1=(xk)是p阶收敛的，且有,3迭代法,3迭代法,迭代法的收敛速度（收敛阶）,p=1，且0|c|1，称为线性收敛p=2，称为平方收敛,假设迭代函数(x)在a,b上具有一阶连续的导数，且满足当xa,b时，(x)a,b；存在正常数L1，使得|(x)|L;则方程在a,b上有唯一根x*对任意x0a,b，迭代格式xk+1=(xk)都收敛到x*,定理1,定理2.4若(x)在x*附近的某个领域内有p阶(p1)连续导数，且(x*)=x*,(x*)=0,(p-1)(x*)=0,(p)(x*)0,则对一个任意靠近x*的初始值x0，迭代公式xk+1=(xk)是p阶收敛的，且有,2.3迭代法,2.4牛顿法,牛顿迭代公式,几何意义,x2,x0,x1,x*,牛顿迭代法,x3,y=f(x),4牛顿法,局部收敛性,定理2.3设方程x=(x)有根x，且在x*的某个领域S=x|xx*-,x*+内存在一阶连续导数，则当|(x*)|1时，迭代格式xk+1=(xk)发散,4牛顿法,局部收敛性,定理4若(x)在x*附近的某个领域内有p阶(p1)连续导数，且(x*)=x*,(x*)=0,(p-1)(x*)=0,(p)(x*)0,则对一个任意靠近x*的初始值x0，迭代公式xk+1=(xk)是p阶收敛的，且有,二阶局部收敛,牛顿法,局部收敛性,4牛顿法,大范围收敛性,定理2.6若f(x)在a,b上存在二阶导数，且满足下列条件：f(a)f(b)0则牛顿迭代序列xk收敛于方程f(x)=0在(a,b)内唯一根。,4割线法,几何意义,4割线法,xk-1,xk,xk+1,xk+2,x*,割线法,y=f(x),
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