《图可平面图》PPT课件.ppt

1,8.7可平面图PlanarGraphs,2,8.7可平面图PlanarGraphs,例：,有六个结点的图如上，试问：能否转变成与其等价的，但没有任何相交线的平面上的图？结论：不能,3,8.7可平面图PlanarGraphs,DEFINITIONAgraphiscalledplanar(可平面的)ifitcanbedrawnintheplanewithoutanyedgescrossing.Suchadrawingiscalledaplanarrepresentation(平面表示)ofthegraph,4,例：,8.7可平面图PlanarGraphs,5,例：,8.7可平面图PlanarGraphs,6,8.7可平面图PlanarGraphs,一个图的可平面表示把平面分割成一些面，包括一个无界的面。包围每个面的边界的长度称为面的次数，记为Deg(R)。,7,8.7可平面图PlanarGraphs,EULERSFORMULALetGbeaconnectedplanarsimplegraphwitheedgesandvvertices.LetrbethenumberofregionsinaplanarrepresentationofG.Thenr=e-v+2.,8,证明：用数学归纳法归纳基础：面数r=1，r=e-v+2成立。面数r=2，G为一多边形，且e=v=3（e=v=4），得e-v+2=3-3+2=r成立，或e-v+2=4-4+2=r成立；,8.7可平面图PlanarGraphs,9,归纳步骤：设图G的面为r时，r=e-v+2成立。证明面数为r=r+1时，等式也成立。(a)先构成图G，其中点数为v,边数为e,面数为r；(b)在G中，加入一条长度为L的简单通路（L1）,且与G共有二个结点，从而使G变为G；,8.7可平面图PlanarGraphs,10,(c)e-v+2=(e+L)-(v+(L-1)+2=e+L-v-L+1+2=e-v+2+1=r+1=r定理成立,8.7可平面图PlanarGraphs,L条边(L-1)个点,G,11,8.7可平面图PlanarGraphs,COROLLARYIfGisaconnectedplanarsimplegraphwitheedgesandvvertices,wherev3,thene3v-6。,12,8.7可平面图PlanarGraphs,证明：G为简单连通平面图每一面至少用三条或更多条边构成，=所有面的边的总数。因此边的总数3r（包含重复计算的边）,13,8.7可平面图PlanarGraphs,一条边是在至多二个面的边界中，各面的实际总边数一定有3r（2e）即成立,14,8.7可平面图PlanarGraphs,由欧拉定理：,15,8.7可平面图PlanarGraphs,例：证明K5图不是平面图K5图中，v=5,e=10,3*5-6=910K5图不为平面图思考：证明K3,3不是平面图,16,8.7可平面图PlanarGraphs,COROLLARYIfGisaconnectedplanarsimplegraph,thenGhasavertexofdegreenotexceedingfive.COROLLARYIfaconnectedplanarsimplegraphhaseedgesandvverticeswithv3andnocircuitsoflengththree,thene2v-4.,17,8.7可平面图PlanarGraphs,Elementarysubdivision(初等细分)Removinganedgeu,vandaddinganewvertexwtogetherwithedgesu,wandw,vThegraphsG1andG2arecalledhomeomorphic(同胚)iftheycanbeobtainedfromthesamegraphbyasequenceofelementarysubdivisions.,18,8.7可平面图PlanarGraphs,例：同胚图,19,8.7可平面图PlanarGraphs,THEOREMAgraphisnonplanarifandonlyifitcontainsasubgraphhomeomorphictoK3,3orK5.,20,8.7可平面图PlanarGraphs,Example:Determinewhetherthefollowinggraphisplanar,21,8.7可平面图PlanarGraphs,Example:,22,8.7可平面图PlanarGraphs,Example:,