资源描述
6.2图形的相似,中考数学(湖南专用),A组20142018年湖南中考题组,五年中考,考点一相似与位似,1.(2018湖南邵阳,8,3分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作ABx轴于点B.将AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的,得到COD,则CD的长度是()A.2B.1C.4D.2.5,答案A点A(2,4),过点A作ABx轴于点B,将AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的,得到COD,C(1,2),则CD的长度是2.故选A.,2.(2014湖南张家界,7,3分)下列关于位似图形的表述:相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;位似图形一定有位似中心;如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么,这两个图形是位似图形;位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.其中正确的序号是()A.B.C.D.,答案A相似图形不一定是位似图形,故错误;位似图形对应点与位似中心的距离之比等于位似比,故错误;正确.故选A.,3.(2017湖南长沙,16,3分)如图,ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),O(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,可以得到ABO,已知点B的坐标是(3,0),则点A的坐标是.,答案(1,2),解析根据位似变换的性质及已知可得,点A的坐标为(1,2).,思路分析理解位似比与相似比两者的关系,由题意可得位似比等于,又因为图形在第一象限,所以根据位似变换的性质可得答案.,4.(2016湖南郴州,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,0),B(2,1),C(0,1).以坐标原点O为位似中心,将矩形OABC放大为原图形的2倍,记所得矩形为OA1B1C1.B的对应点为B1,且B1在OB的延长线上,则B1的坐标为.,答案(4,2),解析B点坐标为(2,1),而B的对应点为B1,且B1在OB的延长线上,B1的坐标为(22,12),即(4,2).,思路分析如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,则位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,因为B(2,1),对应点B1为(4,2)或(-4,-2),但因为点B1在OB的延长线上,所以答案只能为(4,2).,易错警示根据位似变换的性质,易错填为(4,2)或(-4,-2).,5.(2014湖南湘西,23,10分)如图,在88的正方形网格中,CAB和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上,AC与网格上的直线相交于点M.(1)填空:AC=,AB=;(2)求ACB的值和tan1的值;(3)判断CAB和DEF是否相似,并说明理由.,解析(1)2;2.(2)BC=AC=2,AB=2,BC2+AC2=(2)2+(2)2=40,AB2=(2)2=40,BC2+AC2=AB2,ABC是直角三角形,且ACB=90.由题图可知tan1=.(3)相似.理由如下:DE=,DF=,EF=,=2,=2,=2,=,CABDEF.,6.(2014湖南郴州,19,6分)在1313的网格图中,已知ABC和点M(1,2).(1)以点M为位似中心,画出ABC的位似图形ABC,使ABC与ABC的位似比为21;(2)写出ABC的各顶点坐标.,解析(1)作图正确给满分,不分步给分.(3分)(2)A(3,6),B(5,2),C(11,4).(6分),考点二相似三角形的判定与性质,1.(2018湖南永州,8,4分)如图,在ABC中,点D是边AB上的一点,ADC=ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为()A.2B.4C.6D.8,答案BA=A,ADC=ACB,ADCACB,=,AC2=ADAB=2(2+6)=16,AC0,AC=4.故选B.,思路分析先证明ADCACB,可得=,即AC2=ADAB,由此即可解决问题.,2.(2017湖南张家界,5,3分)如图,D,E分别是ABC的边AB,AC上的中点,如果ADE的周长是6,则ABC的周长是()A.6B.12C.18D.24,答案B根据三角形中位线定理得到DEBC,DE=BC,ADEABC,=,相似三角形的周长比等于相似比,ABC的周长为26=12.故选B.,3.(2017湖南株洲,10,3分)如图所示,若ABC内一点P满足PAC=PBA=PCB,则点P为ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点(Brocardpoint)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle1780-1855)于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意,1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard1845-1922)重新发现,并用他的名字命名.问题:已知在等腰直角三角形DEF中,EDF=90,若点Q为DEF的布洛卡点,DQ=1,则EQ+FQ=()A.5B.4C.3+D.2+,答案D如图,在等腰直角三角形DEF中,EDF=90,DE=DF,1=2=3,1+QEF=3+DFQ=45,QEF=DFQ,2=3,DQFFQE,=,DQ=1,FQ=,EQ=2,EQ+FQ=2+,故选D.,4.(2016湖南湘西,17,4分)如图,在ABC中,DEBC,DB=2AD,ADE的面积为1,则四边形DBCE的面积为()A.3B.5C.6D.8,答案D由DEBC,DB=2AD,得ADEABC,=,进而得=.由ADE的面积为1,得SABC=9,故S四边形DBCE=SABC-SADE=8,故选D.,评析本题考查了相似三角形的判定与性质,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方得出SABC=9是解题关键.,易错警示本题易错点:=.,思路分析由平行构成“A”型,从而得出两个三角形相似,再由相似三角形的性质得到问题的答案.,5.(2015湖南永州,8,3分)如图,下列条件不能判定ADBABC的是()A.ABD=ACBB.ADB=ABCC.AB2=ADACD.=,答案DA=A,ABD=ACB,ADBABC;A=A,ADB=ABC,ADBABC;A=A,AB2=ADAC,即=,ADBABC;若=,则需A=ABC,D不能判定ADBABC,故选D.,6.(2018湖南邵阳,12,3分)如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF,写出图中任意一对相似三角形.,答案ADFECF(答案不唯一),解析四边形ABCD为平行四边形,ADCE,DAF=E,D=FCE,ADFECF.,7.(2016湖南衡阳,16,3分)若ABC与DEF相似且面积之比为2516,则ABC与DEF的周长之比为.,答案54,解析相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似三角形的周长比等于相似比,因为ABC与DEF相似且面积比为2516,所以ABC与DEF的周长比为54.,8.(2015湖南长沙,17,3分)如图,在ABC中,DEBC,=,DE=6,则BC的长是.,答案18,解析DEBC,=,DE=6,=,BC=18.,9.(2016湖南怀化,21,8分)如图,ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.(1)求证:AEHABC;(2)求这个正方形的边长与面积.,解析(1)证明:四边形EFGH是正方形,EHBC,AEH=B,AHE=C,AEHABC.(2)如图,设AD与EH交于点M.EFD=FEM=FDM=90,四边形EFDM是矩形,EF=DM,设正方形EFGH的边长为x,AEHABC,=,=,x=,正方形EFGH的边长为cm,面积为cm2.,评析本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是利用相似三角形的相似比等于高的比,列出方程解决问题,属于中考常考题型.,B组20142018年全国中考题组,考点一相似与位似,1.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OAOA=23,则四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为()A.49B.25C.23D.,答案A由位似图形的性质知=,所以=.故选A.,2.(2015甘肃兰州,5,4分)如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为()A.(2,5)B.(2.5,5)C.(3,5)D.(3,6),答案B设点A的坐标为(x,y),由位似图形的性质知,=,得x=2.5,y=5,则点A的坐标为(2.5,5).故选B.,3.(2015辽宁沈阳,14,4分)如图,ABC与DEF位似,位似中心为点O,且ABC的面积等于DEF面积的,则ABDE=.,答案23,解析ABC与DEF位似,ABCDEF,=.SABC=SDEF,=.=,=(舍负),即ABDE=23.,考点二相似三角形的判定与性质,1.(2017河北,7,3分)若ABC的每条边长增加各自的10%得ABC,则B的度数与其对应角B的度数相比()A.增加了10%B.减少了10%C.增加了(1+10%)D.没有改变,答案DABC的每条边长增加各自的10%即变为原来的1.1倍,得到ABC,根据相似三角形的判定方法可得ABCABC,所以B=B,故选D.,2.(2017甘肃兰州,13,4分)如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的平台DE(DE=BC=0.5米,A,C,B三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿着直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得GE=3米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为()A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米,答案A由光线反射可知AGC=FGE,又FEG=ACG=90,FEGACG,FEAC=EGCG,1.6AC=315,AC=8米.BC=0.5米,AB=AC+BC=8.5米.,解题关键本题考查了相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是判定FEG与ACG相似.,3.(2015江苏南京,3,2分)如图,在ABC中,DEBC,=,则下列结论中正确的是(),答案C=,=,DEBC,ADEABC,=,故选项A、B错误;根据“相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方”可知选项C正确,选项D错误.故选C.,4.(2018江西,14,6分)如图,在ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.,解析BD平分ABC,ABD=CBD.ABCD,ABD=D,ABECDE.CBD=D,=.BC=CD.AB=8,CA=6,CD=BC=4,=,AE=4.,思路分析根据角平分线性质和平行线的性质求出D=CBD,进而可得BC=CD=4,通过ABECDE,得出含AE的比例式,求出AE的值.,方法总结证明三角形相似的常见方法:平行于三角形的一边的直线与其他两边或其延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似,相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图所示.在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.,5.(2018福建,20,8分)求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求:根据给出的ABC及线段AB,A(A=A),以线段AB为一边,在给出的图形上用尺规作出ABC,使得ABCABC,不写作法,保留作图痕迹;在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知,求证和证明过程.,解析如图,ABC即为所求作的三角形.已知:如图,ABCABC,=k,AD=DB,AD=DB.求证:=k.证明:AD=DB,AD=DB,AD=AB,AD=AB,=,又=,=,ABCABC,A=A,CADCAD,=k.,解后反思本题考查尺规作图、相似三角形的性质与判定等基础知识,考查推理能力、化归与转化思想.,6.(2015江苏南京,20,8分)如图,ABC中,CD是边AB上的高,且=.(1)求证:ACDCBD;(2)求ACB的大小.,解析(1)证明:CD是边AB上的高,ADC=CDB=90.又=,ACDCBD.(4分)(2)ACDCBD,A=BCD.在ACD中,ADC=90,A+ACD=90,BCD+ACD=90,即ACB=90.(8分),C组教师专用题组,考点一相似与位似,1.(2014河北,13,3分)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:对于两人的观点,下列说法正确的是()A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对,答案A由题意知新三角形与原三角形的对应角相等,所以两个三角形相似,甲的观点正确;因为新矩形与原矩形的对应角相等,但对应边的比并不相等,所以新矩形与原矩形不相似,乙的观点也正确,故选A.,2.(2017吉林,12,3分)如图,数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度,使用长为2m的竹竿CD作为测量工具.移动竹竿,使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合,测得OD=4m,BD=14m,则旗杆AB的高为m.,答案9,解析OD=4m,BD=14m,OB=18m.由题意知ODCOBA,=,即=,得AB=9m.,3.(2015甘肃兰州,17,4分)如果=k(b+d+f0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k=.,答案3,解析由题意得a=bk,c=dk,e=fk,则a+c+e=k(b+d+f)=3(b+d+f),故k=3.,4.(2015天津,16,3分)如图,在ABC中,DEBC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,则DE的长为.,答案,解析DEBC,=,=,=,DE=.,评析本题考查了平行线分线段成比例定理.由DEBC可得=,从而可计算出DE的长.,5.(2015宁夏,20,6分)在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-4),B(3,-2),C(6,-3).(1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1;(2)以M点为位似中心,在网格中画出A1B1C1的位似图形A2B2C2,使A2B2C2与A1B1C1的相似比为21.,解析(1)如图所示.(3分)(2)如图所示.(6分),考点二相似三角形的判定与性质,1.(2015湖南株洲,7,3分)如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是()A.B.C.D.,答案CAB、CD、EF都与BD垂直,ABCDEF,DEFDAB,BEFBCD,=,=,+=+=1.AB=1,CD=3,+=1,EF=.,2.(2018云南,5,3分)如图,已知ABCD,若=,则=.,答案,解析ABCD,A=C,B=D,AOBCOD.=.,3.(2017北京,13,3分)如图,在ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若SCMN=1,则S四边形ABNM=.,答案3,解析M,N分别为AC,BC的中点,MNAB,且MN=AB,CMNCAB,且相似比为12,SCMN=1,SCAB=4,S四边形ABNM=SCAB-SCMN=4-1=3.,4.(2017内蒙古包头,20,3分)如图,在ABC与ADE中,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE,且点D在AB上,点E与点C在AB的两侧,连接BE,CD.点M、N分别是BE、CD的中点,连接MN,AM,AN.下列结论:ACDABE;ABCAMN;AMN是等边三角形;若点D是AB的中点,则SACD=2SADE.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号),答案,解析AB=AC,CAB=DAE,AD=AE,ACDABE,正确;由ACDABE得CD=BE,ACD=ABE,又点M、N分别是BE、CD的中点,CN=BM,ACNABM,AN=AM,CAN=BAM,CAN+BAN=BAM+BAN,即BAC=MAN,又=,ABCAMN,正确;AN=AM,AMN是等腰三角形,由已知条件不能得出AMN是等边三角形,错误;若点D是AB的中点,则SABE=2SADE,又ACDABE,SABE=SACD,SACD=2SADE,正确.,5.(2015山东临沂,18,3分)如图,在ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则=.,答案2,解析连接DE,BD,CE是AC,AB边上的中线,DE为ABC的中位线,DE=BC,DEBC,OBCODE,=2.,6.(2015重庆,15,4分)已知ABCDEF,ABC与DEF的相似比为41,则ABC与DEF对应边上的高之比为.,答案41,解析两个相似三角形对应边上的高之比等于相似比,所以答案是41.,7.(2015河南,10,3分)如图,ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,DEAC.若BD=4,DA=2,BE=3,则EC=.,答案,解析DEAC,=,EC=.,8.(2018浙江杭州,19,8分)如图,在ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DEAB于点E.(1)求证:BDECAD;(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.,解析(1)证明:AB=AC,B=C,又AD为BC边上的中线,ADBC,DEAB,DEB=ADC=90,BDECAD.(2)易知BD=BC=5,在RtADB中,AD=12,由(1)易得=,=,DE=.,思路分析(1)由等腰三角形的性质,得B=C,ADBC,因为DEAB,所以DEB=ADC,根据相似三角形的判定定理,即可解决问题.(2)利用勾股定理求出AD,再利用(1)的结论列式求解.,解题关键本题考查相似三角形的判定定理和性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识并灵活应用.,9.(2017浙江杭州,19,8分)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AGBC于点G,AFDE于点F,EAF=GAC.(1)求证:ADEABC;(2)若AD=3,AB=5,求的值.,解析(1)证明:因为AFDE,AGBC,所以AFE=90,AGC=90,所以AEF=90-EAF,C=90-GAC,又因为EAF=GAC,所以AEF=C,又因为DAE=BAC,所以ADEABC.(2)因为ADEABC,所以ADE=B,又因为AFD=AGB=90,所以AFDAGB,所以=,又因为AD=3,AB=5,所以=.,10.(2017湖北武汉,23,10分)已知四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线相交于点E.(1)如图1,若ABC=ADC=90,求证EDEA=ECEB;(2)如图2,若ABC=120,cosADC=,CD=5,AB=12,CDE的面积为6,求四边形ABCD的面积;(3)如图3,另一组对边AB,DC的延长线相交于点F,若cosABC=cosADC=,CD=5,CF=ED=n,直接写出AD的长(用含n的式子表示).,解析(1)证明:ADC=90,EDC+ADC=180,EDC=90,又ABC=90,EDC=ABC,又E为公共角,EDCEBA,=,EDEA=ECEB.(2)过点C作CFAD,交AE于点F,过点A作AGEB,交EB的延长线于点G.在RtCDF中,cosFDC=,=,又CD=5,DF=3,CF=4,又SCDE=6,EDCF=6,ED=3,EF=ED+DF=6.,ABC=120,G=90,G+BAG=ABC,BAG=30,在RtABG中,BG=AB=6,AG=6,CFAD,AGEB,EFC=G=90,又E为公共角,EFCEGA,=,=,EG=9,BE=EG-BG=9-6,S四边形ABCD=SABE-SCED=BEAG-6=(9-6)6-6=75-18.(3)AD=.详解:过点C作CHAD,交AE于点H,则CH=4,DH=3,EH=n+3,tanE=.,过点A作AGDF,交DF于点G,设AD=5a,则DG=3a,AG=4a,FG=FD-DG=5+n-3a,由CHAD,AGDF,E=F知AFGCEH,=,=,=,a=,AD=.,11.(2017江苏南京,27,11分)折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步,对折矩形纸片ABCD(ABBC)(图),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图).第二步,如图,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到PBC.,(1)说明PBC是等边三角形.【数学思考】(2)如图,小明画出了图的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把PBC经过图形变化,可以得到图中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.(3)已知矩形一边长为3cm,其邻边长为acm.对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围.,【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为cm.,解析(1)证明:由折叠可知PB=PC,BP=BC,因此PBC是等边三角形.(3分)(2)本题答案不唯一,下列解法供参考.如图,以点B为中心,在矩形ABCD中把PBC按逆时针方向旋转适当的角度,得到P1BC1;再以点B为位似中心,将P1BC1放大,使点C1的对应点C2落在CD上,得到P2BC2.(3)本题答案不唯一,下列解法供参考.,(9分)(4).如图,CEF是直角三角形,CEF=90,CE=4cm,EF=1cm.,四边形ABCD是正方形,A=D=90.易证RtAEFRtDCE,=,设AE=xcm,CD=4xcm,则DE=3xcm.在RtCDE中,CE=5x=4cm,x=,AD=4x=cm,所需正方形边长最小值为cm.(11分),解后反思这是一道阅读理解题,考查了等边三角形的性质、三角形相似等知识点,同时对学生的逻辑思维能力及动手能力要求也比较高,属难题.,12.(2015江苏连云港,25,10分)如图,在ABC中,ABC=90,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD.过点D作DHAB,交BC的延长线于点H.(1)求BDcosHBD的值;(2)若CBD=A,求AB的长.,解析(1)DHAB,BHD=ABC=90,ABCDHC,=.AC=3CD,BC=3,CH=1.BH=BC+CH=4.在RtBHD中,cosHBD=,BDcosHBD=BH=4.(4分)(2)解法一:A=CBD,ABC=BHD,ABCBHD.=.(6分)由(1)知ABCDHC,=,AB=3DH.=,DH=2,AB=6.(10分)解法二:CBD=A,BDC=ADB,CDBBDA.=,BD2=CDAD,BD2=CD4CD=4CD2.BD=2CD.(6分),CDBBDA,=,=,AB=6.(10分),13.(2015湖南郴州,26,12分)如图,在四边形ABCD中,DCAB,DAAB,AD=4cm,DC=5cm,AB=8cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动,它们的速度均为1cm/s.当P点到达C点时,两点同时停止运动.连接PQ,设运动时间为ts.解答下列问题:(1)当t为何值时,P,Q两点同时停止运动?(2)设PQB的面积为S,当t为何值时,S取得最大值?并求出最大值;(3)当PQB为等腰三角形时,求t的值.,解析(1)如图,作CEAB于点E,CDAB,DAAB,四边形AECD是矩形,AE=CD=5cm,CE=AD=4cm,BE=AB-AE=8-5=3(cm),在RtCBE中,BC=5(cm),t=5,即当t=5时,P、Q两点同时停止运动.(3分)(2)如图,作PFAB于点F,根据题意,得AQ=t,BQ=8-t,BP=t.,易知BPFBCE,=,即=,PF=t.(4分)S=BQPF=(8-t)t=-(t-4)2+,(6分)当t=4时,PQB的面积最大,且Smax=cm2.(7分)(3)若BP=BQ,则t=8-t,解得t=4;(8分)若QP=QB,则=,解得t=;(10分)若PQ=PB,则=,解得t=.综上,当t等于4,时,PQB为等腰三角形.(12分),评析本题是四边形中的动点问题,着重考查了勾股定理、三角形相似的判定与性质、二次函数的最值、与等腰三角形有关的分类讨论.本题信息量大、综合性强,属难题.,14.(2014湖南永州,21,8分)如图,D是ABC的边AC上的一点,连接BD.已知ABD=C,AB=6,AD=4.求线段CD的长.,解析在ABD和ACB中,ABD=C,A=A(公共角),ABDACB,(4分)=,(5分)又AB=6,AD=4,AC=9,(6分)CD=AC-AD=5.(8分),15.(2014湖南益阳,20,12分)如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,ADAB,B=60,AB=10,BC=4,点P沿线段AB从点A向点B运动,设AP=x.(1)求AD的长;(2)点P在运动过程中,是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由;(3)设ADP与PCB的外接圆的面积分别为S1、S2,若S=S1+S2,求S的最小值.,解析(1)过点C作CEAB于点E,在RtBCE中,B=60,BC=4,CE=BCsinB=4=2,易知四边形DAEC为矩形,AD=CE=2.(2)存在.若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似,则PCB中必有一个角是直角.当PCB=90时,在RtPCB中,BC=4,B=60,PB=8,AP=AB-PB=2.又由(1)知AD=2,在RtADP中,tanDPA=,DPA=60,DPA=CBP,ADPCPB,此时x=2.当CPB=90时,在RtPCB中,B=60,BC=4,PB=2,PC=2,AP=8,易验证此时PBC与ADP不相似.综上可知,当x=2时,以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似.(3)如图,因为RtADP的外接圆的直径为斜边PD,所以S1=.作BC的垂直平分线交BC于H,交AB于G;作PB的垂直平分线交PB于N,交GH于M,连接BM,则BM为PCB外接圆的半径.在RtGBH中,BH=BC=2,HGB=30,BG=4.BN=PB=(10-x)=5-x,GN=BG-BN=x-1.在RtGMN中,MN=GNtanMGN=.,在RtBMN中,BM2=MN2+BN2=x2-x+,S2=BM2=.S=S1+S2=+=+.当x=时,S=S1+S2取得最小值.,16.(2014湖北武汉,24,8分)如图,RtABC中,ACB=90,AC=6cm,BC=8cm.动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0t2),连接PQ.(1)若BPQ与ABC相似,求t的值;(2)连接AQ、CP,若AQCP,求t的值;(3)试证明:PQ的中点在ABC的一条中位线上.,解析(1)由题意知,BP=5tcm,CQ=4tcm,BQ=(8-4t)cm.当PBQABC时,有=.即=,解得t=1.当QBPABC时,有=.即=,解得t=.PBQ与ABC相似时,t=1或.(2)如图,过点P作PDBC于D.依题意,得BP=5tcm,CQ=4tcm.则PD=PBsinB=3tcm,BD=4tcm,CD=(8-4t)cm.AQCP,ACB=90,tanCAQ=tanDCP.,=,即=,t=.(3)证明:如图,过点P作PDAC于D,连接DQ、BD,BD交PQ于M,则PD=APcosAPD=APcosABC=(10-5t)=(8-4t)cm.而BQ=(8-4t)cm,PD=BQ,又PDBQ,四边形PDQB是平行四边形.点M是PQ和BD的中点.过点M作EFAC分别交BC,BA于E,F两点.则=1,即E为BC的中点.同理,F为BA的中点.PQ的中点M在ABC的中位线EF上.,A组20162018年模拟基础题组考点一相似与位似,三年模拟,1.(2017湖南长沙四模,8)如图,已知点D、E分别是ABC边AB、AC上的点,DEBC,且BD=3AD,则AEAC等于()A.23B.12C.13D.14,答案DDEBC,=,BD=3AD,=.,2.(2016湖南邵阳调研,15)在直角坐标系中有两点A(6,3)、B(6,0),以原点O为位似中心,把线段AB按31的位似比缩小后得到线段CD,点C在第一象限(如图),则点C的坐标为.,答案(2,1),解析点A的坐标为(6,3),经过题中位似变换后点A的对应点C的坐标为(2,1)或(-2,-1),又点C在第一象限,点C的坐标为(2,1).,考点二相似三角形的判定与性质,1.(2017湖南长沙十模,8)若两个相似多边形的面积之比为19,则它们的周长之比为()A.13B.19C.1D.23,答案A利用相似三角形的性质,即相似三角形的周长之比等于相似比,相似三角形的面积之比等于相似比的平方,由题意得,相似比为,周长之比为.故选A.,2.(2017湖南长沙十模,11)如图,点F是ABCD的对角线BD上的点,BFFD=13,则BEEC等于()A.12B.13C.23D.14,答案A四边形ABCD为平行四边形,BEAD,=,=,故选A.,3.(2017湖南长沙一模,16)如图,在ABCD中,点E为BC延长线上一点,AE交CD于点F,若AB=7,CF=3,则=.,答案,解析四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ADBC,即ADCE,ADFECF,=,AB=CD=7,CF=3,=.,4.(2016湖南长沙三模,17)如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在光源下的影子为CD,ABCD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则P到AB的距离是m.,答案0.9,解析由相似比的性质可知,点P到AB的距离与点P到CD的距离比是13,故可求得点P到AB的距离是0.9m.,5.(2017湖南长沙一模,24)如图,在矩形ABCD中,点E是AD上一点,将矩形ABCD沿BE翻折,使得点A落在CD边的点A处.(1)求证:DEACAB;(2)若点A恰好是DC的中点,则AB与BC的数量关系是;(3)在(2)的条件下,连接AA,点G、M、N分别是AB、AA、BA上的点(都不与端点重合),若GMNABA,且GMN的面积等于ABA面积的,求的值.,解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,BAD=C=D=90,BAC+ABC=90.矩形ABCD沿BE翻折后,点A落在CD上的A处,BAD=EAB=90,EAD+BAC=90,EAD=ABC,又C=D,DEACAB.(2)AB=BC.(3)由(2)知CA=DA,又四边形ABCD是矩形,AD=BC,C=D=90,ADABCA,AA=BA,由翻折可知,AB=BA,AA=AB=BA,ABA是等边三角形,GMNABA,GMN是等边三角形,易证AGMBNGAMN,SGMN=SABA,SAGM=SABA,设AB=a,BC=a,SABA=a2,SAGM=a2,设AG=x,则BG=AM=a-x,点M到AB的距离为(a-x).SAGM=x(a-x),a2=x(a-x),x=a,=.,一、选择题(每小题3分,共15分),B组20162018年模拟提升题组(时间:30分钟分值:40分),1.(2018湖南长沙周南集团十模,5)在平面直角坐标系中,已知点E(-4,2),F(-2,-2),以原点O为位似中心,相似比为2,把EFO缩小,则点E的对应点E的坐标是()A.(-2,1)B.(-8,4)C.(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1),答案D根据题意可知,点E的坐标是点E的横、纵坐标同时乘或-,所以点E的坐标为(-2,1)或(2,-1).故选D.,2.(2017湖南长沙八模,11)如图,每个图中的小正方形的边长均为1,则图中的阴影三角形与ABC相似的是(),答案B由题意可知,结合勾股定理可得AC=,BC=2,ACB=135,B项中有两边分别为1和,且这两边的夹角为135,由相似三角形的判定定理2可知,B图中的阴影三角形与ABC相似,故选B.,思路分析根据勾股定理计算各边边长,再利用相似三角形的判定方法来解决此题.,解题关键本题考查识图能力与计算能力,可由最简单的B项入手得到答案,也可分别计算A,B,C,D四个选项中各边的长度,再由相似三角形判定定理1得到答案.,3.(2017湖南长沙五模,11)如图,正方形ABCD中,点E为AB的中点,AFDE于点O,则等于()A.B.C.D.,答案D如图,四边形ABCD是正方形,DAE=90,1+2=90.AFDE,2+3=90,1=3,又DAE=AOE=90,AODEAD,=.故选D.,思路分析先判定AODEAD,再利用其性质求.,解题关键正确运用相似三角形的判定和性质.,4.(2016湖南郴州一模,9)小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影子长为0.85m,紧接着他把手臂竖直举起,测得他的影子长为1.1m,那么小刚举起的手臂超出头顶()A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2m,答案A设小刚举起的手臂超出头顶xm,根据同一时刻物高与影长成比例,得=,解得x=0.5.故选A.,5.(2016湖南衡阳二模,7)如图,OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形,位似比为12,OCD=90,CO=CD,若B(1,0),则点C的坐标为()A.(1,-2)B.(-2,1)C.(,-)D.(1,-1),答案D易知OAB=OCD=90,AO=AB,点B的坐标为(1,0),BO=1,则AO=AB=,点A的坐标为,等腰RtOAB与等腰RtOCD是位似图形,O为位似中心,位似比为12,点C的坐标为(1,-1).故选D.,二、填空题(每小题4分,共4分),6.(2017湖南长沙一模,18)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是边AD、AB的中点,EF交AC于点H,则的值为.,答案,解析点E、F分别是边AD、AB的中点,EF=BD,EFBD,=1,又四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,=.,三、解答题(共21分),7.(2018湖南张家界四模,19)如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一条直线上.已知纸板的两条边DE=70cm,EF=30cm,测得AC=m,BD=9m,求树高AB.,解析在RtDEF中,DE=70cm,EF=30cm,由勾股定理得DF=10cm.在DEF和DCB中,D=D,DEF=DCB,DEFDCB,=,又EF=30cm,BD=9m,BC=(m).AC=m,AB=AC+BC=+=m,即树高AB为m.,思路分析先判定DEF和DCB相似,然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长,再加上AC即可得解.,解题关键本题考查了相似三角形的应用,主要利用了相似三角形对应边成比例的性质,比较简单,判定出DEF和DCB相似是解题的关键.,8.(2018湖南衡阳十模,22)在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,点P在BC上,且BPPC=23,动点E在边AD上,过点P作PFPE分别交射线AD、射线CD于点F、G.(1)如图,当点G在线段CD上时,设AE=x,EPF与矩形ABCD重叠部分的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;(2)问在点E的移动过程中(不与A、D重合),DGF是否可能为等腰三角形?若可能,请求出AE的长;若不可能,请说明理由.,解析(1)过点E作EHBC,EPPF,PEHGPC,=,BPPC=23,BC=5,PB=2,PC=3,GC=.y=25-2x-(2-x)2-3=x+.(提示:PF过D点时,AE最小;PF与PC重合时,AE最大),(2)在点E的移动过程中,DGF不能为等腰三角形.理由:要使DFG是等腰三角形,GDF=90,DF=DG,G=GFD=45,C=90,GPC=45=PGC,CP=CG=3,由(1)知=,=,PH=2,即H和B重合,EHBC,E和A重合,即当AE=0时,DFG是等腰三角形,由题知点E不与点A、D重合,故在点E的移动过程中,DFG不可能是等腰三角形.,思路分析(1)重叠部分的面积可由矩形ABCD的面积减去小矩形ABHE、EHP、PCG的面积求得,矩形ABHE与EHP的面积易求,由PEHGPC,可得GC与x之间的关系,得出PCG的面积,进而可求解;(2)首先假设DGF是等腰三角形,那么有GD=FD,求出CG=CP=3,根据EHPPCG得出比例式,求出PH,得出点H和B重合,推出A、E重合,与题意不符,故DGF不可能为等腰三角形.,解后反思本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定问题,要求能够熟练掌握并运用.,
展开阅读全文